MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLJQUÉ
3. Racines des polynômes orthogonaux
Théorème
Les zéros d’un polynôme dc degré n appartenant à une suite dc polynômes orthogonaux
relativement à la fonction poids W(T) sur l’intervalle (a, b) sont rkels, distincts ct compris dans
l’intervalle (a, b).
Considérons l’expression suivante :
elle signifie que W”(z) et W,(z) sont orthogonaux. Comme W(Z) n’est jamais II~I~ fonction
négative dans l’intervalle (a. b), il s’ensuit nkcssaircment que W,,(z) s‘annule au moins en un
point dans l’intrrvallc (n, b). Désignons par :x:1,22, . , xh. tous les points O
II(z) = Wn(x)(2T ~ x1)(2 - x2). . . ( L E -LT&) = W,,(X)X~(2T)
conserve
un signe constant dans l’intervalle (a, b). X ( )
k z cs, ~1 polynôme de degré k. Faisons
t
l‘hypothèse que k soit plus petit que 12. Il vient :
/
W(Z)WIL(~)X~(X) dz # 0
0 .
puisque Wn(~)X~(2) g d
il1 e un signe constant sur l’intervalle (a, b). Par ailleurs, Xk:(.z) est
dkomposable en polynômes ~V~(Z) de degrk kgal et inférieur à k, soit :
X,.(x) = c d]Lv,(Lc).
j=O
Il s’ensuit que :
en vertu des relations d’orthogonalité puisque ‘II # k par hypothk. On en dbduit que k doit
être égal à n puisque l’intégrale prkckdente
est diffkente dc z6ro pour k = 71. Par conséquent.
ceci nous conduit à affirmer que le polynôme W71(z) de degri: n possède 71 racines rtkllcs dans
l’intervalle (a: b).
Il nous reste à montrer qu’il ne peut, y avoir de racines doubles. Pour cela, supposons que la
h? racine soit double, dans ce cas la forme :
II(x) = WlL(2)(2 - 21)(x - x2). (cc ~ 2,,)2.. . (x ~ X.,-l)
est définit positive sur (a, h), mais il en est de même pour le polynôme :
II(x) = WTL(L72)(X - x1)(x ~ x2). . (x - 2&l)(ll: ~ Z,!,+l). (:r - 5,,p1)
et l’on retombe exactement sur lc raisonnement prkkdcnt,. On en conclut donc que toutes les
racines sont distinctes (ou racines simples), car par lc même processus on montrerait qu’il nc
peut y avoir dc racines triples, quadruples et ainsi de suite.
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CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLJQUÉ
3. Racines des polynômes orthogonaux
Théorème
Les zéros d’un polynôme dc degré n appartenant à une suite dc polynômes orthogonaux
relativement à la fonction poids W(T) sur l’intervalle (a, b) sont rkels, distincts ct compris dans
l’intervalle (a, b).
Considérons l’expression suivante :
elle signifie que W”(z) et W,(z) sont orthogonaux. Comme W(Z) n’est jamais II~I~ fonction
négative dans l’intervalle (a. b), il s’ensuit nkcssaircment que W,,(z) s‘annule au moins en un
point dans l’intrrvallc (n, b). Désignons par :x:1,22, . , xh. tous les points O
II(z) = Wn(x)(2T ~ x1)(2 - x2). . . ( L E -LT&) = W,,(X)X~(2T)
conserve
un signe constant dans l’intervalle (a, b). X ( )
k z cs, ~1 polynôme de degré k. Faisons
t
l‘hypothèse que k soit plus petit que 12. Il vient :
/
W(Z)WIL(~)X~(X) dz # 0
0 .
puisque Wn(~)X~(2) g d
il1 e un signe constant sur l’intervalle (a, b). Par ailleurs, Xk:(.z) est
dkomposable en polynômes ~V~(Z) de degrk kgal et inférieur à k, soit :
X,.(x) = c d]Lv,(Lc).
j=O
Il s’ensuit que :
en vertu des relations d’orthogonalité puisque ‘II # k par hypothk. On en dbduit que k doit
être égal à n puisque l’intégrale prkckdente
est diffkente dc z6ro pour k = 71. Par conséquent.
ceci nous conduit à affirmer que le polynôme W71(z) de degri: n possède 71 racines rtkllcs dans
l’intervalle (a: b).
Il nous reste à montrer qu’il ne peut, y avoir de racines doubles. Pour cela, supposons que la
h? racine soit double, dans ce cas la forme :
II(x) = WlL(2)(2 - 21)(x - x2). (cc ~ 2,,)2.. . (x ~ X.,-l)
est définit positive sur (a, h), mais il en est de même pour le polynôme :
II(x) = WTL(L72)(X - x1)(x ~ x2). . (x - 2&l)(ll: ~ Z,!,+l). (:r - 5,,p1)
et l’on retombe exactement sur lc raisonnement prkkdcnt,. On en conclut donc que toutes les
racines sont distinctes (ou racines simples), car par lc même processus on montrerait qu’il nc
peut y avoir dc racines triples, quadruples et ainsi de suite.
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