A NNEXE
B. POLYNOMES
ORTHOGONAUX
RELATIVEMENT
À UNEFONCTIONPOIDS
Ces différentes expressions reportées dans QTL(x) d onnent directement pour QTL(x) une forme
linéaire en IV~(X) :
Qn(x) = boW,(x) + hWl(x) + . . + h,Wn.(x).
On en déduit la relation suivante :
b
J
~x)W,+~(X)Q,,(X) dJ: = 0
À présent, intéressons-nous à la fonction f(x) p ouvant être légitimement approchée par le
polynôme R,(z) sur l’intervalle (a, b) dans les conditions du théorème de Weierstrass ; nous
pouvons écrire :
f(x) = RT<,(X) + e(x) où c(x) est le résidu ou le reste.
R,, (x) peut se décomposer sur la base des polynômes IV,(x) :
Pour obtenir les coefficients ck, il suffit de multiplier les deux membres de l’équation précédente
par w(x)Wk(x), puis d’effectuer l’intégration sur l’intervalle (a, h) dans la rnesure où celle-ci a
un sens.
b
,b
J
w(x)Rn(x)Wk(x) dz = ck
J
w($V,,(x) dz
n
a
en vertu des relations d’orthogonalité. En posant :
I, = ~(+V~(Z) dz
J a
011 peut alors écrire :
1
Ck = ~
Ik J
w(x)R,(~)W~(x)
dz.
a.
Autrement dit, on choisit comme approximation de f(x) un polynôme R,(z) de degré n qui
vérifie les relations :
b
b
J w(x)%(x)Wk(x) d 1 7 : = J w(x)f(x)W,(x) dz
a
a
avec k= 1,2 ,..., 71.
Du point de vue strictement mathématique, la décomposition est d’autant plus précise que la
valeur de n. est élevée. et cela en vertu du théorème de Weierstrass.
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