MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
1. WTL( 1) = 1 pour tout n. ;
b
2. orthonormalité : s ~(X)IV~(X) dz = 1, pour tout n positif ou nul ;
3. le coefficient de 18 puissance la plus élevée du polynôme a une valeur fixée à l’avance ; lorsque
cette valeur est égale à 1, on dit que le polynôme est à coefficient principal réduit.
Il nous reste à justifier l’existence d’une telle suite. Considérons la suite de fonction linéairement independantes :
~,x~,x2&(q ,..., x:“&fq )...
Le procédé d’orthogonalisation de Schmidt (187661959) nous permet d’obtenir un système de
fonctions orthogonales répondant à notre question. On obtient alors :
où W”(X),W~(X),. . ,Wl(X),. . sont respectivement des polynômes de degré 0, 1, . , n, . .
2. Décomposition d’une fonction f(x) sur la base des polynômes Wk(x)
orthogonaux sur l’intervalle (a, b)
Théorème liminaire
Tout polynôme Qn(z) de degré n est représentable par une somme finie de polynômes W,(X)
de degré inférieur et égal à n.
Pour démontrer cette proposition, il suffit de reprendre la technique analogue à celle que nous
avons mise en œuvre lors de l’étude des polynômes de Lagrange (chapitre 6). Développons Qrl(z)
selon les puissances décroissantes de 2 :
Qn(x) = uoxn + UIX n-1
Il nous suffit de remarquer, alors, que :
1. 1 est proportionnel à IV~(Z) :
1 = aoowo(x) ;
2. x est une fonction linéaire de IV~(X) et WI(X) :
x = folio +~ll~oow~(~);
3. x2 est une fonction linéaire de IV~(Z), WI(X) et IV~(X) :
x2 = aozwo(x) +a12W(z) l ta22W2(x),
et ainsi de suite.