B Polynômes orthogonaux
relativement à une fonction
poids. Généralisation
de la méthode de Gauss
Compte tenu de la grande simplicité d’emploi agrkmentée
d’une grande précision, on peut
SC demander dans quelle mesure la méthode de Gauss est susceptible d’être gknéralisée
aux
cas d’intégrales, ayant bien sfir un sens, mais prksentant des singularités. Le plus souvent; ces
singularités existent aux bornes du domaine d’intégration lequel peut, être fini ou infini.
Il n’est pas question de chercher à passer en revue le plus grand nombre de singularités,
mais d’étudier, dans la mesure du possible, les cas les plus fréquemment rencontrés dans les
applications. La méthode consiste à conserver les principes généraux qui ont permis d’obtenir la
formule d’approximation de Gauss, et bien entendu, notre attention devra tout particulièrement
porter sur l’utilisation des polynômes orthogonaux classiques.
Nous montrerons l’existence de racines de ces polynômes exclusivement récllcs et distinctes,
ainsi que quelques autres propriétés générales. En résumé, ce chapitre préscntc les définitions et
théorèmes utiles pour l’établissement de méthodes d’intkgration généralisant celle de Gauss.
1. Généralisation de la notion de polynômes orthogonaux
On appelle suite de polynômes orthogonaux sur l’intervalle fini ou infini (a: 0) relativement à la
fonction poids W(Z) d éfinie positive ou nulle sur (a, b) une suite dc polynômes :
WC)(x),
Wl(X),
W2(2), ‘. > WI(~), . ”
de degré respectivement 0, 1,2,. . , 12, . et qui vérifient, les relations :
h
.I
w(~)W~(z)W~(z) dz = 0 si k # j
C I
Cela implique que :
03.1)
doit, converger quel que soit n.
Remarquons que la suite n’est définie qu’à une constante multiplicative près. On peut choisir
cette constante, comme nous l’avons déjà écrit, selon divers critères que nous rappelons :
relativement à une fonction
poids. Généralisation
de la méthode de Gauss
Compte tenu de la grande simplicité d’emploi agrkmentée
d’une grande précision, on peut
SC demander dans quelle mesure la méthode de Gauss est susceptible d’être gknéralisée
aux
cas d’intégrales, ayant bien sfir un sens, mais prksentant des singularités. Le plus souvent; ces
singularités existent aux bornes du domaine d’intégration lequel peut, être fini ou infini.
Il n’est pas question de chercher à passer en revue le plus grand nombre de singularités,
mais d’étudier, dans la mesure du possible, les cas les plus fréquemment rencontrés dans les
applications. La méthode consiste à conserver les principes généraux qui ont permis d’obtenir la
formule d’approximation de Gauss, et bien entendu, notre attention devra tout particulièrement
porter sur l’utilisation des polynômes orthogonaux classiques.
Nous montrerons l’existence de racines de ces polynômes exclusivement récllcs et distinctes,
ainsi que quelques autres propriétés générales. En résumé, ce chapitre préscntc les définitions et
théorèmes utiles pour l’établissement de méthodes d’intkgration généralisant celle de Gauss.
1. Généralisation de la notion de polynômes orthogonaux
On appelle suite de polynômes orthogonaux sur l’intervalle fini ou infini (a: 0) relativement à la
fonction poids W(Z) d éfinie positive ou nulle sur (a, b) une suite dc polynômes :
WC)(x),
Wl(X),
W2(2), ‘. > WI(~), . ”
de degré respectivement 0, 1,2,. . , 12, . et qui vérifient, les relations :
h
.I
w(~)W~(z)W~(z) dz = 0 si k # j
C I
Cela implique que :
03.1)
doit, converger quel que soit n.
Remarquons que la suite n’est définie qu’à une constante multiplicative près. On peut choisir
cette constante, comme nous l’avons déjà écrit, selon divers critères que nous rappelons :