ANNEXE A. LES SUITES DE STLJRM
7.1. Exemple 1
Voici les coefficients dans l’ordre des puissances décroissantes d’un polynôme de degré 4.
a0 = 1
a1 = -5
CL2 = 10
a3 = -10
a4 = 4.
Ce polynôme admet deux racines réelles qui ont pour valeur 1 et 2, et deux racines complexes
conjuguées 1 f i. Le programme donne :
nombre de racines réelles multiples = 0 et nombre de racines réelles distinctes = 2.
7.2. Exemple 2
Voici les coefficients dans l’ordre des puissances décroissantes d’un polynôme de degré 5.
a0 = 1
a1 = -2
CL2 = -1
a3 = 4
a4 = -2
a5 = -4.
Ce polynôme admet une racine réelle double qui a pour valeur -1, deux racines complexes
conjuguées 1 f i, et une racine réelle qui a la valeur 2. Le programme donne :
nombre de racines réelles multiples = 1 et nombre de racines réelles distinctes = 2.
7.3. Exemple 3
Voici les coefficients d’un polynôme de degré 6 :
a0 = 1 a1 = -21 a2 = 175 aa = -735 a4 = 1624 a5 = -1764 a6 = 720.
Ce polynôme admet pour racines 1,2,3,4,5,6. Le programme donne 6 racines réelles distinctes
et aucune racine multiple.
7.4. Exemple 4
Voici un polynôme de degré 10 qui admet comme racines : 4 fois la valeur 1, 3 fois la valeur 2,
2 fois la valeur 3. 1 fois la valeur 4. Ses coefficients sont :
ao = 1
a1 = -20
a2 = 175
as = -882
a4 = 2835 as = -6 072
a6 = 8777 a7 = -8458 a8 = 5204 a9 = -1848 aio = 288.
Le programme indique qu’il y a 6 racines multiples, et 4 racines réelles distinctes. Cet exemple
montre qu’il ne faut pas espérer trop de cette méthode dès que le degré du polynôme atteint la
dizaine, la perte de signification des nombres calculés devient la cause principale de cette mise en
échec. Nous avons rencontré un problème semblable lors du calcul des racines d’un polynôme :
si l’on dispose d’une machine utilisant 16 chiffres significatifs, on ne peut guère espérer calculer
des racines correctes pour les polynômes de degré égal ou supérieur à 13.
8. Éléments de bibliographie
E. DURAND (1971) Solution numérique des équations algébriques, Tome 1, Éditions Masson,
Paris.
H. MINEUR (1966) Techniques de calcul numérique, Éditions Dunod.
387
7.1. Exemple 1
Voici les coefficients dans l’ordre des puissances décroissantes d’un polynôme de degré 4.
a0 = 1
a1 = -5
CL2 = 10
a3 = -10
a4 = 4.
Ce polynôme admet deux racines réelles qui ont pour valeur 1 et 2, et deux racines complexes
conjuguées 1 f i. Le programme donne :
nombre de racines réelles multiples = 0 et nombre de racines réelles distinctes = 2.
7.2. Exemple 2
Voici les coefficients dans l’ordre des puissances décroissantes d’un polynôme de degré 5.
a0 = 1
a1 = -2
CL2 = -1
a3 = 4
a4 = -2
a5 = -4.
Ce polynôme admet une racine réelle double qui a pour valeur -1, deux racines complexes
conjuguées 1 f i, et une racine réelle qui a la valeur 2. Le programme donne :
nombre de racines réelles multiples = 1 et nombre de racines réelles distinctes = 2.
7.3. Exemple 3
Voici les coefficients d’un polynôme de degré 6 :
a0 = 1 a1 = -21 a2 = 175 aa = -735 a4 = 1624 a5 = -1764 a6 = 720.
Ce polynôme admet pour racines 1,2,3,4,5,6. Le programme donne 6 racines réelles distinctes
et aucune racine multiple.
7.4. Exemple 4
Voici un polynôme de degré 10 qui admet comme racines : 4 fois la valeur 1, 3 fois la valeur 2,
2 fois la valeur 3. 1 fois la valeur 4. Ses coefficients sont :
ao = 1
a1 = -20
a2 = 175
as = -882
a4 = 2835 as = -6 072
a6 = 8777 a7 = -8458 a8 = 5204 a9 = -1848 aio = 288.
Le programme indique qu’il y a 6 racines multiples, et 4 racines réelles distinctes. Cet exemple
montre qu’il ne faut pas espérer trop de cette méthode dès que le degré du polynôme atteint la
dizaine, la perte de signification des nombres calculés devient la cause principale de cette mise en
échec. Nous avons rencontré un problème semblable lors du calcul des racines d’un polynôme :
si l’on dispose d’une machine utilisant 16 chiffres significatifs, on ne peut guère espérer calculer
des racines correctes pour les polynômes de degré égal ou supérieur à 13.
8. Éléments de bibliographie
E. DURAND (1971) Solution numérique des équations algébriques, Tome 1, Éditions Masson,
Paris.
H. MINEUR (1966) Techniques de calcul numérique, Éditions Dunod.
387