MANUEL
DE
CALCUL
NUME~RIQUEAPPLIQUÉ
le reste de la division R,,-:{(z) étant un polynôme de degré est au plus (n. - 3). À nouveau
on pose Q3(x) = -R1L-3(x). N ous allons poursuivre les mêmes opérations jusqu’a ce que nous
parvenions au terme ultime de la suite :
Qn(x) = -R”(z),
où IX~(Z) est alors une constante. La suite des Q~(z) s’appelle suite de Sturm. Pour des raisons
de concision d’ecriture, on peut désigner par rnj la quantité (n,jX + b,), et l’on obtient la relation
de rccurrcnce entre trois polynômes consécutifs :
avec les deux prerniers polynômes de la suite : &a(~) et Qr (x)
3. Quelques propriétés des suites de Sturm
D’abord, nous allons supposer que le polynôme PTI,(~) ne posstde aucu11c racine multiple.
autrement dit, Qc)(z) et Q ( )
r z n’ont aucune racine commune. Sous cette hypothèse, on déduit
les propriétés suivantes :
a. Q,, (.z) est une constantc differente de xero. En effet. Qn (XT) est le plus grand commun diviseur
de Q”(X) et de QI(Z), et si QT1( z es e a à zéro cela signifie que &a (XT) ct Qr (x) ont au
)
t ‘g 1
moins une racine commune ce qui est contraire à l’hypothèse.
b. Deux polynômes consécutifs Q~(z) ct Qk+r(* )
L ne possèdent,
aucune racine commune. En
effet, la relation de récurrence montre que, s’il n’en était pas ainsi, Qk+a(.~) s’annulerait aussi
et ainsi de suite jusqu’à QTL(x) q ui serait nul ; mais nous VCIIOI~S d’etablir au paragraphe
précédent que cela n’était pas possible.
c. Si, pour une valeur z = q de la variable, le polynôrne Q~(z) s’annule, la relation de rccurrence
nous donne :
Qk-(v) = -Qk+2(71) ou encore Qk(q) Qk+z(q) < 0.
d. Lorsque Q”(z) s’annule pour la valeur I I : = 6, le rapport Qa(z)/Qr (x) passe du négatif au
positif quand z passe par < par valeurs croissantes. Ceci n’est vrai qu’au voisinage immédiat
de la racine de Q”(X) dans un domaine où QI(x) garde un signe constant
on rappelle que
Q~(z) ct QI(X) n’ont pas de racine commmle.
Comme par hypothèse < est une racine simple, nous pouvons écrire :
Qo(x) = (x - C)(Q,,-1 + a-~(~ - I) + . )
À ce propos, signalons qu’on peut toujours écrire la deuxième parenthesc du deuxième membre
sous forme d’un polynôme IL-r (z) de degré (n ~ 1) :
rI,,-,(x) = c,, + CL,,-IZ + c,,-&x2 + ‘. + ClZ
71-1
Le changcmeru de variable x en z ~ [ permet d’écrire :
384
DE
CALCUL
NUME~RIQUEAPPLIQUÉ
le reste de la division R,,-:{(z) étant un polynôme de degré est au plus (n. - 3). À nouveau
on pose Q3(x) = -R1L-3(x). N ous allons poursuivre les mêmes opérations jusqu’a ce que nous
parvenions au terme ultime de la suite :
Qn(x) = -R”(z),
où IX~(Z) est alors une constante. La suite des Q~(z) s’appelle suite de Sturm. Pour des raisons
de concision d’ecriture, on peut désigner par rnj la quantité (n,jX + b,), et l’on obtient la relation
de rccurrcnce entre trois polynômes consécutifs :
avec les deux prerniers polynômes de la suite : &a(~) et Qr (x)
3. Quelques propriétés des suites de Sturm
D’abord, nous allons supposer que le polynôme PTI,(~) ne posstde aucu11c racine multiple.
autrement dit, Qc)(z) et Q ( )
r z n’ont aucune racine commune. Sous cette hypothèse, on déduit
les propriétés suivantes :
a. Q,, (.z) est une constantc differente de xero. En effet. Qn (XT) est le plus grand commun diviseur
de Q”(X) et de QI(Z), et si QT1( z es e a à zéro cela signifie que &a (XT) ct Qr (x) ont au
)
t ‘g 1
moins une racine commune ce qui est contraire à l’hypothèse.
b. Deux polynômes consécutifs Q~(z) ct Qk+r(* )
L ne possèdent,
aucune racine commune. En
effet, la relation de récurrence montre que, s’il n’en était pas ainsi, Qk+a(.~) s’annulerait aussi
et ainsi de suite jusqu’à QTL(x) q ui serait nul ; mais nous VCIIOI~S d’etablir au paragraphe
précédent que cela n’était pas possible.
c. Si, pour une valeur z = q de la variable, le polynôrne Q~(z) s’annule, la relation de rccurrence
nous donne :
Qk-(v) = -Qk+2(71) ou encore Qk(q) Qk+z(q) < 0.
d. Lorsque Q”(z) s’annule pour la valeur I I : = 6, le rapport Qa(z)/Qr (x) passe du négatif au
positif quand z passe par < par valeurs croissantes. Ceci n’est vrai qu’au voisinage immédiat
de la racine de Q”(X) dans un domaine où QI(x) garde un signe constant
on rappelle que
Q~(z) ct QI(X) n’ont pas de racine commmle.
Comme par hypothèse < est une racine simple, nous pouvons écrire :
Qo(x) = (x - C)(Q,,-1 + a-~(~ - I) + . )
À ce propos, signalons qu’on peut toujours écrire la deuxième parenthesc du deuxième membre
sous forme d’un polynôme IL-r (z) de degré (n ~ 1) :
rI,,-,(x) = c,, + CL,,-IZ + c,,-&x2 + ‘. + ClZ
71-1
Le changcmeru de variable x en z ~ [ permet d’écrire :
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