A Les suites de Sturm.
Application à la détermination
du nombre de racines réelles
d’un polynôme
En 1829, le mathématicien Charles Sturm (180331855) fait paraître un mémoire, célèbre alors,
consacré à la détermination du nombre de racines réelles d’une équation f(x) = 0. L’intérêt
est avant tout théorique, et, comme on s’en apercevra au cours des applications pratiques,
les suites de Sturm ne sont pas d’un emploi aussi aisé qu’une première impression pourrait le
laisser supposer dans la mesure où leur usage impose une très grande précision dans les calculs
numériques. L’introduction des erreurs d’arrondi à chaque étape des calculs conduit d’une façon
quasi inexorable à des résultats aberrants. Ceci explique la limitation des suites de Sturm au
cas des polynômes de degré assez faible (quelques unités) à coefficients entiers.
1. Notion de variations d’une suite numérique
Considérons une suite numérique quelconque finie ou infinie notée aa, a1 , a2, . , ak, . . . On dit
qu’il existe une variation dans cette suite lorsque deux termes consécutifs possèdent des signes
opposés. Autrement dit, il existe une variation lorsque le produit de deux termes consécutifs est
négatif. Par exemple, considérons la suite finie suivante : 15,12, -8, -7,18, -15, -12, -4,7,9.
Cette suite possède quatre variations ou quatre changements de signe. C’est sur cette notion
de variations dans une suite que repose le théorème de Sturm.
2. Suite de Sturm générée à partir d’un polynôme
Soit un polynôme de degré n, à coefficients réels, que l’on note P,(Z). À partir de P,(Z), on
génère une suite de polynômes Qj(z) dé me ainsi : on pose &O(Z) = P,(s) et QI(Z) = PA(z),
fi .
F’;(X) étant le polynôme dérivé de P,(X) par rapport à 2. Ensuite, on divise &O(Z) par QI(X).
On obtient alors :
&O(X) = (aoz + bo)Ql(z) + %-2(x),
expression dans laquelle on a désigné par &-2(x) le reste de la division, c’est au plus un
polynôme de degré (n - 2). On pose alors :
Q2(x) = -Rn-2(x)
On opère de la même façon en divisant QI(Z) par Q~(x), ce qui s’écrit :
QI(X) = (alz + h)Qz(x) + S-:s(x),
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Application à la détermination
du nombre de racines réelles
d’un polynôme
En 1829, le mathématicien Charles Sturm (180331855) fait paraître un mémoire, célèbre alors,
consacré à la détermination du nombre de racines réelles d’une équation f(x) = 0. L’intérêt
est avant tout théorique, et, comme on s’en apercevra au cours des applications pratiques,
les suites de Sturm ne sont pas d’un emploi aussi aisé qu’une première impression pourrait le
laisser supposer dans la mesure où leur usage impose une très grande précision dans les calculs
numériques. L’introduction des erreurs d’arrondi à chaque étape des calculs conduit d’une façon
quasi inexorable à des résultats aberrants. Ceci explique la limitation des suites de Sturm au
cas des polynômes de degré assez faible (quelques unités) à coefficients entiers.
1. Notion de variations d’une suite numérique
Considérons une suite numérique quelconque finie ou infinie notée aa, a1 , a2, . , ak, . . . On dit
qu’il existe une variation dans cette suite lorsque deux termes consécutifs possèdent des signes
opposés. Autrement dit, il existe une variation lorsque le produit de deux termes consécutifs est
négatif. Par exemple, considérons la suite finie suivante : 15,12, -8, -7,18, -15, -12, -4,7,9.
Cette suite possède quatre variations ou quatre changements de signe. C’est sur cette notion
de variations dans une suite que repose le théorème de Sturm.
2. Suite de Sturm générée à partir d’un polynôme
Soit un polynôme de degré n, à coefficients réels, que l’on note P,(Z). À partir de P,(Z), on
génère une suite de polynômes Qj(z) dé me ainsi : on pose &O(Z) = P,(s) et QI(Z) = PA(z),
fi .
F’;(X) étant le polynôme dérivé de P,(X) par rapport à 2. Ensuite, on divise &O(Z) par QI(X).
On obtient alors :
&O(X) = (aoz + bo)Ql(z) + %-2(x),
expression dans laquelle on a désigné par &-2(x) le reste de la division, c’est au plus un
polynôme de degré (n - 2). On pose alors :
Q2(x) = -Rn-2(x)
On opère de la même façon en divisant QI(Z) par Q~(x), ce qui s’écrit :
QI(X) = (alz + h)Qz(x) + S-:s(x),
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