ANNEXE A. LESSUITESDE STURM
D’un autre côté, on peut krire QI(z) sous la forrne :
QI(x) = a,,,-1 + ~cu,-~(z - <) + ~cx,-:~(z - Q2 + . . + (n - l)rul(x - PJ-l.
Dans le voisinage immédiat de la racine <, c’est-à-dire dans le domaine ([ - $, < - E”) où
QI(z) n’a pas de racine, on peut écrire :
g# = (x-E)= = (x - E)
les signes sont donnés ci-dessous :
X
< - E2
I
x - E2
Qc~(x)
QI(X)
0
+
Il s’ensuit que Qui et QI(z) ont 1eurs zéros entrelacés. À présent, il nous faut envisager lc
cas des racines multiples. À partir d’un certain rang, noti: (p + l), q ui ne diipend que de l’ordre
de multiplicité des racines, la suite des polynômes devient identiquement nulle. Le polynôme
Q,(x) est alors le PGCD de Q”(x) et QI(z). Si l’on pose :
Q; = Qk(x)
Q,(x)
alors la nouvelle suite Qo (x), QT, Q5, . . QG est une suite de Sturrn, et le polynôme QG n’a plus
que des racines simples. Ainsi s’est-on ramené au cas précédent.
4. Le théorème de Sturm (1829)
Soient I L et b deux nombres réels tels que a < b. Le nombre N de racines réelles du polynôme
PT1(x) à coefficients réels et de degré n, qui sont comprises entre a et b, est égal à la différence
des variations prises par la suite de Sturm {Q,(x)} aux points a ct b : N = N(a) - N(b), où
N(y) désigne le nombre de variations de la suite de Sturm {Q,(x)}.
Démonstration
Pour parvenir à nos fins, nous allons faire croître la variable x depuis la valeur a jusqu’à la
valeur b. Chaque fois que l’on passe par une racine < de Qk(z), les signes des deux polynôrnes
voisins Qk-l(x) et Qk+l(x) sont conservés et demeurent, bien sur, opposk. Que lc signe de
Q,+~(z) change ou non, le nombre de variations de la, suit,e Part>ielle Qk,-, (CI:): Qk(x) et Qk+l (x)
ne change pas. Donc, d’une fa$on générale, le fait de passer par une racine d’un polynôme Qk(x)
ne change pas le nornbrc de variations de la suite excepté si k = 0. En effet, dans cc dernier
cas, au passage de chaque racine de Q”(z), le rapport Q”(x)/Ql(x) passe du négatif au positif
pour les x croissants et l’on perd alors une variation. Il est évident qu’une racine muItiple n’est
comptke que comme racine unique, et il est indispensable d’examiner en détail la suite des Q,j (x).
D’un point de vue pratique, le nombre total de racines réelles est donnk par :
NI = Iv-cm) - N(+oo).
Dans cc cas, seul le coefficient du degri: le plus élevé dc chaque polynôrne Qj (z) est, utile pour
calculer NI.
385
D’un autre côté, on peut krire QI(z) sous la forrne :
QI(x) = a,,,-1 + ~cu,-~(z - <) + ~cx,-:~(z - Q2 + . . + (n - l)rul(x - PJ-l.
Dans le voisinage immédiat de la racine <, c’est-à-dire dans le domaine ([ - $, < - E”) où
QI(z) n’a pas de racine, on peut écrire :
g# = (x-E)= = (x - E)
les signes sont donnés ci-dessous :
X
< - E2
I
x - E2
Qc~(x)
QI(X)
0
+
Il s’ensuit que Qui et QI(z) ont 1eurs zéros entrelacés. À présent, il nous faut envisager lc
cas des racines multiples. À partir d’un certain rang, noti: (p + l), q ui ne diipend que de l’ordre
de multiplicité des racines, la suite des polynômes devient identiquement nulle. Le polynôme
Q,(x) est alors le PGCD de Q”(x) et QI(z). Si l’on pose :
Q; = Qk(x)
Q,(x)
alors la nouvelle suite Qo (x), QT, Q5, . . QG est une suite de Sturrn, et le polynôme QG n’a plus
que des racines simples. Ainsi s’est-on ramené au cas précédent.
4. Le théorème de Sturm (1829)
Soient I L et b deux nombres réels tels que a < b. Le nombre N de racines réelles du polynôme
PT1(x) à coefficients réels et de degré n, qui sont comprises entre a et b, est égal à la différence
des variations prises par la suite de Sturm {Q,(x)} aux points a ct b : N = N(a) - N(b), où
N(y) désigne le nombre de variations de la suite de Sturm {Q,(x)}.
Démonstration
Pour parvenir à nos fins, nous allons faire croître la variable x depuis la valeur a jusqu’à la
valeur b. Chaque fois que l’on passe par une racine < de Qk(z), les signes des deux polynôrnes
voisins Qk-l(x) et Qk+l(x) sont conservés et demeurent, bien sur, opposk. Que lc signe de
Q,+~(z) change ou non, le nombre de variations de la, suit,e Part>ielle Qk,-, (CI:): Qk(x) et Qk+l (x)
ne change pas. Donc, d’une fa$on générale, le fait de passer par une racine d’un polynôme Qk(x)
ne change pas le nornbrc de variations de la suite excepté si k = 0. En effet, dans cc dernier
cas, au passage de chaque racine de Q”(z), le rapport Q”(x)/Ql(x) passe du négatif au positif
pour les x croissants et l’on perd alors une variation. Il est évident qu’une racine muItiple n’est
comptke que comme racine unique, et il est indispensable d’examiner en détail la suite des Q,j (x).
D’un point de vue pratique, le nombre total de racines réelles est donnk par :
NI = Iv-cm) - N(+oo).
Dans cc cas, seul le coefficient du degri: le plus élevé dc chaque polynôrne Qj (z) est, utile pour
calculer NI.
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