MANIJELUE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
2. Fondements de l’analyse de corrélation-régression
La détermination des coefficients ü et b s’cffcctue selon la méthode des moindres carrés.
Pour s’assurer que les estirnateurs issus de l’analyse de corrélation-régression sont tout à fait
convenables, on doit, vkifier que trois conditions suivantes sont, remplies :
1. indkpcndance stochastique des résultats d’observation (l’échantillon a bien étk tire au hasard) :
2. homogénéité des varianccs conditionnelles ;
3. les distributions des variables sont gaussiennes.
Nous a.llons reprendre en dktail ces trois points.
2.1. Indépendance stochastique des résultats d’observation
Il s’agit de vérifier que les échantillons ont bien Cte prélevés au hasard. On doit s’assurer que
l’observation de l’expérience no i est bicn indépendante de celles qui ont, été effectuées auparavant
et qu’elle n’influence pas non plus les observations suivantcs.
L’étude de 1’indCpcndance stochastique des exp@ricnces évoquks dans les schémas t,ypiqucs de
l’analyw dc corrklation-régression peut se rarnener à l’étude de l’ind~pcndan<:e
sto&astique des
séries dc rkidus (~5~). Il importe de vkrifier que l’échantillonnage n’a pas été dirigé. Désignons
par x1, x2, x3; . , CC, , l’échantillon extrait de la population parcntc ktudiCc dans l’ordre où ils
apparaissent. On propose plusieurs méthodes de vérification de l’indépendance stochastique des
tirages.
a - Test de la suite formée à partir de la médiane de l’échantillon - À partir de la suite des
x3, on forme une autre suite yj constituk par l’ensemble des x.7 ordonné par valeurs croissantes.
Cette nouvelle suite s’appelle suite variationnelle, et yj s’appcllc l’ordre statistique de rang j.
La valeur empirique dc la médiane T j rr, , f: Ci est l’élément central de la Suit)e des yj, c’est-à-dire :
YTL+l
si n, est irnpair.
2
(
y: + y;,,) /2 si n est pair.
À partir de l’échantillon initial des xj, on va forrner une suite de deux caractères arbitraires,
disons 0 rt 1. Si la valeur dc zk. est inférieure 5 z , rrrCi on place mi 0, si, clic est supérieure on
place un 1. On abandonne les éléments qui sont @aux à IC,,,~.
L’idCc du test, repose sur les remarques suivantes :
la suite dc 0 et de 1 est constituCe de sous-suites formkcs soit ur~iquemrnt, de 0 soit uniquernent
de 1. On désigne par p le nombre total de sous-suites. Il apparaît comme IIIIC question de bon
sens que / L doit avoir une valeur «pas trop faible cornparéc à n, »; car les sous-suites ne peuvent
pas Ckre trop 101~gucs si le tirage est dû au hasard. Il s’ensuit que la longueur X de la plus grande
sous-suite doit avoir une valeur « pas trop grande comparée à n ». Il est clair que I - L et X sont
des grandeurs qui dépendent de ?z ct on les notera : pu(n) et X(~L).
Si l’hypothèse d’indépendance statistique est vraie, on peut montrer que /L(T~,) obéit à IUIC loi
normale dont la rnoyenne ct l’kart type sont donnés par les expressions :
M[p(n,)] = y
D[p(n)] = y
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CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
2. Fondements de l’analyse de corrélation-régression
La détermination des coefficients ü et b s’cffcctue selon la méthode des moindres carrés.
Pour s’assurer que les estirnateurs issus de l’analyse de corrélation-régression sont tout à fait
convenables, on doit, vkifier que trois conditions suivantes sont, remplies :
1. indkpcndance stochastique des résultats d’observation (l’échantillon a bien étk tire au hasard) :
2. homogénéité des varianccs conditionnelles ;
3. les distributions des variables sont gaussiennes.
Nous a.llons reprendre en dktail ces trois points.
2.1. Indépendance stochastique des résultats d’observation
Il s’agit de vérifier que les échantillons ont bien Cte prélevés au hasard. On doit s’assurer que
l’observation de l’expérience no i est bicn indépendante de celles qui ont, été effectuées auparavant
et qu’elle n’influence pas non plus les observations suivantcs.
L’étude de 1’indCpcndance stochastique des exp@ricnces évoquks dans les schémas t,ypiqucs de
l’analyw dc corrklation-régression peut se rarnener à l’étude de l’ind~pcndan<:e
sto&astique des
séries dc rkidus (~5~). Il importe de vkrifier que l’échantillonnage n’a pas été dirigé. Désignons
par x1, x2, x3; . , CC, , l’échantillon extrait de la population parcntc ktudiCc dans l’ordre où ils
apparaissent. On propose plusieurs méthodes de vérification de l’indépendance stochastique des
tirages.
a - Test de la suite formée à partir de la médiane de l’échantillon - À partir de la suite des
x3, on forme une autre suite yj constituk par l’ensemble des x.7 ordonné par valeurs croissantes.
Cette nouvelle suite s’appelle suite variationnelle, et yj s’appcllc l’ordre statistique de rang j.
La valeur empirique dc la médiane T j rr, , f: Ci est l’élément central de la Suit)e des yj, c’est-à-dire :
YTL+l
si n, est irnpair.
2
(
y: + y;,,) /2 si n est pair.
À partir de l’échantillon initial des xj, on va forrner une suite de deux caractères arbitraires,
disons 0 rt 1. Si la valeur dc zk. est inférieure 5 z , rrrCi on place mi 0, si, clic est supérieure on
place un 1. On abandonne les éléments qui sont @aux à IC,,,~.
L’idCc du test, repose sur les remarques suivantes :
la suite dc 0 et de 1 est constituCe de sous-suites formkcs soit ur~iquemrnt, de 0 soit uniquernent
de 1. On désigne par p le nombre total de sous-suites. Il apparaît comme IIIIC question de bon
sens que / L doit avoir une valeur «pas trop faible cornparéc à n, »; car les sous-suites ne peuvent
pas Ckre trop 101~gucs si le tirage est dû au hasard. Il s’ensuit que la longueur X de la plus grande
sous-suite doit avoir une valeur « pas trop grande comparée à n ». Il est clair que I - L et X sont
des grandeurs qui dépendent de ?z ct on les notera : pu(n) et X(~L).
Si l’hypothèse d’indépendance statistique est vraie, on peut montrer que /L(T~,) obéit à IUIC loi
normale dont la rnoyenne ct l’kart type sont donnés par les expressions :
M[p(n,)] = y
D[p(n)] = y
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