25. ÉTUDE D ES D ÉPENDANCES DANS LE CAS LINÉAIRE
La variable xj n’est pas du tout entachée d’erreur tandis que la variable y.7 est sujette à
certaines fluctuations incontrôlables qui confère à cette variable un caractère aléatoire.
Ce type de schéma s’applique encore même si la variable x3 fait l’objet de très faibles
fluctuations comparées à celles qui affectent la variable yj.
1.3. Dépendance de la variable aléatoire q et de la variable aléatoire [ (schéma de corrélation)
Les deux variables étudiées dépendent d’un ensemble de facteurs incontrôlables qui rendent
fondamentalement aléatoires les variables étudiées 77 et <.
Si l’on fait l’hypothèse d’une liaison linéaire entre 77 et <, la grandeur 17 se décompose en deux
parties :
77 = (üf + 6) + s.
expression dans laquelle 6 exprime le résidu avec comme caractéristiques :
M[S] = 0
et D[b] = a’.
Il y a une contrainte supplémentaire : cette décomposition doit être effectuée de telle sorte
que les variables S et 5 soient non corrélées. Cela impose que M[@l = 0, en effet S est centrée,
il n’est donc pas nécessaire que < le soit. Si la distribution de ces deux variables 6 et < est
gaussienne, alors on est assuré de l’indépendance.
Ici encore on s’intéressera à la loi en moyenne et l’on écrira :
Y(x) = ax + 6,
soit encore Y(x) = n/r[q][ = x].
Remarque : Le cas où les variables 17 et [ sont simplement entachées d’erreur ne rentre pas tout
à fait dans ce type de schéma bien que ce soit celui-ci qui soit appliqué. En effet désignons par
6, et S, les erreurs qui entachent les variables x et y. On peut écrire :
et l’on ajoute :
Ad[&.] = 0
et
M[i?,] = 0.
Remplaçons z et y dans l’équation de la régression :
qui se transforme :
7 = a< + 6 + (6, - as,) .
Dans cc schéma, on voit que le résidu est corrélé avec [ puisqu’il dépend du paramètre ü à
estimer. Cela peut entraîner des ennuis dans le calcul des estimateurs qui risquent de perdre
leurs bonnes propriétés évoquées au chapitre 24.
363
La variable xj n’est pas du tout entachée d’erreur tandis que la variable y.7 est sujette à
certaines fluctuations incontrôlables qui confère à cette variable un caractère aléatoire.
Ce type de schéma s’applique encore même si la variable x3 fait l’objet de très faibles
fluctuations comparées à celles qui affectent la variable yj.
1.3. Dépendance de la variable aléatoire q et de la variable aléatoire [ (schéma de corrélation)
Les deux variables étudiées dépendent d’un ensemble de facteurs incontrôlables qui rendent
fondamentalement aléatoires les variables étudiées 77 et <.
Si l’on fait l’hypothèse d’une liaison linéaire entre 77 et <, la grandeur 17 se décompose en deux
parties :
77 = (üf + 6) + s.
expression dans laquelle 6 exprime le résidu avec comme caractéristiques :
M[S] = 0
et D[b] = a’.
Il y a une contrainte supplémentaire : cette décomposition doit être effectuée de telle sorte
que les variables S et 5 soient non corrélées. Cela impose que M[@l = 0, en effet S est centrée,
il n’est donc pas nécessaire que < le soit. Si la distribution de ces deux variables 6 et < est
gaussienne, alors on est assuré de l’indépendance.
Ici encore on s’intéressera à la loi en moyenne et l’on écrira :
Y(x) = ax + 6,
soit encore Y(x) = n/r[q][ = x].
Remarque : Le cas où les variables 17 et [ sont simplement entachées d’erreur ne rentre pas tout
à fait dans ce type de schéma bien que ce soit celui-ci qui soit appliqué. En effet désignons par
6, et S, les erreurs qui entachent les variables x et y. On peut écrire :
et l’on ajoute :
Ad[&.] = 0
et
M[i?,] = 0.
Remplaçons z et y dans l’équation de la régression :
qui se transforme :
7 = a< + 6 + (6, - as,) .
Dans cc schéma, on voit que le résidu est corrélé avec [ puisqu’il dépend du paramètre ü à
estimer. Cela peut entraîner des ennuis dans le calcul des estimateurs qui risquent de perdre
leurs bonnes propriétés évoquées au chapitre 24.
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