25 Étude des dépendances
dans le cas linéaire
Notre étude se limite au cas de deux variables aléatoires dont la dépendance est linéaire. Ici
encore il n’y a pas de difficultes à généraliser les résultats au cas d’un système dépendant
linéairement de n variables puisqu’il suffit d’en effectuer l’étude en combinant deux à deux les
variables.
Si par rnalheur la liaison entre deux variables est de type curviligne, on peut chercher alors
à se ramener au cas lineaire par un changement de variables adéquat. Quoi qu’il en soit, le but
ultime est l’usage de la méthode des moindres carrés appliquée au calcul des paramètres de
la « droite de régression » quel que soit le schéma de dépendance lineaire que l’on ctudie. Le
risque principal se fonde sur l’utilisation d’estimateurs qui peuvent devenir biaisés lorsque les
conditions requises d’applicabilité de la méthode des moindres carrés ne sont pas toutes vérifiées.
1. Les types de schémas de dépendance linéaire
1.1. Les deux variables X et Y ne sont pas aléatoires
Y est complètement déterminé par la connaissance de X. À première vue cela peut paraître
en désaccord avec la théorie des incertitudes mais ce schéma se rencontre chaque fois que l’on
aborde un problème de dénombrernent, à ce moment aucun élément aléatoire ne rentre en jeu.
Il s’agit alors d’une dépendance fonctionnelle classique qui prend la forme :
Y=aX+b.
Voici 1111 exemple simple : l’âge d’un arbre en fonction du nombre de ses anneaux.
1.2. Dépendance de la variable aléatoire q et de la variable non aléatoire x
(schéma de régression)
Ici, on étudie le comportement de la variable aléatoire dépendante 7 en fonction de la variable
non aléatoire 2. Par exemple, la variable aléatoire rl est une mesure entachée d’incertitude;
elle prend des valeurs qui sont influencées par . 2: mais aussi par des facteurs incontrôlables. La
dépendance linéaire s’écrira sous la forme :
7 = (az + b) + 6.
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