24. C RITÈRES DE CONFORMITÉ
n’avons pas accès à la valeur exacte de chacun des paramètres et nous devrons nous contenter
de l’estimation du paramètre considéré.
Pour obtenir une estimation, il faut employer un estimateur, la notion d’estimateur va se
prkiser dans les lignes qui suivent, toutefois on peut d’ores et déjà dire qu’il s’agit dc la formule
mathématique utilisée pour effectuer le calcul de l’estimation. Bien sur, on ne choisit pas les
estimateurs n’importe comment et il est souhaitable que quelques contraintes judicieusement
choisies nous aident à déterminer des estimatcurs les plus «performants » possibles. Par exemple,
on peut souhaiter avoir les estimateurs pour lesquels les erreurs sont les plus petites possibles ;
à cc slljet on se souvient que si n est élevé, nous avons une très grande chance de trouver la
moyenne expérimentale proche de la moyenne théorique (thkorème
de Bernoulli).
D’une façon générale: on peut considkrer une variable aléatoire X qui prend les valeurs
.x1 i x2, Q, . . , z,, , puis un estimateur Ü du paramètre n qui est une grandeur associée à la variable
X. Toutes les estimations possibles de a le sont à partir des valeurs {zk}. Il s’ensuit, que fi, est urle
fonction des {zk}. Par conséquent, a est une variable aléatoire dont la loi de répart,ition dépend
de celle dc X ; elle dépend aussi du paramètre inconnu a ainsi que du nombre n d’cxpkriences.
Ces remarques nc suffisent pas à concevoir des estimatcurs intéressants et utiles, on leur
irnpose donc certaines contraintes dont les trois plus importantes sont les suivantes :
1. l’cstimateur ü doit converger vers a en probabilité. On dit alors que l’estimation est consistante ;
2. on souhaite que M[a] = a; lorsque cette condition est remplie, on dit que l’estimateur est
non biaisé. Le plus souvent le biais dépend de n, et l’on parvient à corriger l’estimateur afin
que sa nouvelle expression ne soit plus biaisée ; mais il convient alors dc le vkifier ;
3. souvent, on désire que l’estimation centrée possède la variante la plus petite possible, c’està-dire que o(a) soit rninimum.
La plupart du temps, il n’est pas possible de satisfaire simultanément ces trois contraintes, et
l’on SC contente seulement des deux premières.
6.1. Application à l’estimation de la moyenne et de la variante
Rcvcnons à notre variable aléatoire X à valeurs 51,~~ ~3, , z,,, et désignons par ‘rn et D
respectivement la moyenne et la variante, toutes deux inconnues.
a - Cas de la moyenne - Nous définissons la rnoycnnc au moyen dc l’expression :
IC=I
En vertu de la loi des grands nombres (théorème de Bernoulli), l’estimation ?71, converge en
probabilité vers m.
À présent, supposons que l’on réalise n’ expériences ayant fourni chacune une moyenne m, , j =
1, 2, . , n’. On peut écrire :
on voit alors que l’estimateur n’est pas biaisé, et que la moyenne de la moyenne est encore la
rnoycnne. En ce qui concerne la variante de rn :
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n’avons pas accès à la valeur exacte de chacun des paramètres et nous devrons nous contenter
de l’estimation du paramètre considéré.
Pour obtenir une estimation, il faut employer un estimateur, la notion d’estimateur va se
prkiser dans les lignes qui suivent, toutefois on peut d’ores et déjà dire qu’il s’agit dc la formule
mathématique utilisée pour effectuer le calcul de l’estimation. Bien sur, on ne choisit pas les
estimateurs n’importe comment et il est souhaitable que quelques contraintes judicieusement
choisies nous aident à déterminer des estimatcurs les plus «performants » possibles. Par exemple,
on peut souhaiter avoir les estimateurs pour lesquels les erreurs sont les plus petites possibles ;
à cc slljet on se souvient que si n est élevé, nous avons une très grande chance de trouver la
moyenne expérimentale proche de la moyenne théorique (thkorème
de Bernoulli).
D’une façon générale: on peut considkrer une variable aléatoire X qui prend les valeurs
.x1 i x2, Q, . . , z,, , puis un estimateur Ü du paramètre n qui est une grandeur associée à la variable
X. Toutes les estimations possibles de a le sont à partir des valeurs {zk}. Il s’ensuit, que fi, est urle
fonction des {zk}. Par conséquent, a est une variable aléatoire dont la loi de répart,ition dépend
de celle dc X ; elle dépend aussi du paramètre inconnu a ainsi que du nombre n d’cxpkriences.
Ces remarques nc suffisent pas à concevoir des estimatcurs intéressants et utiles, on leur
irnpose donc certaines contraintes dont les trois plus importantes sont les suivantes :
1. l’cstimateur ü doit converger vers a en probabilité. On dit alors que l’estimation est consistante ;
2. on souhaite que M[a] = a; lorsque cette condition est remplie, on dit que l’estimateur est
non biaisé. Le plus souvent le biais dépend de n, et l’on parvient à corriger l’estimateur afin
que sa nouvelle expression ne soit plus biaisée ; mais il convient alors dc le vkifier ;
3. souvent, on désire que l’estimation centrée possède la variante la plus petite possible, c’està-dire que o(a) soit rninimum.
La plupart du temps, il n’est pas possible de satisfaire simultanément ces trois contraintes, et
l’on SC contente seulement des deux premières.
6.1. Application à l’estimation de la moyenne et de la variante
Rcvcnons à notre variable aléatoire X à valeurs 51,~~ ~3, , z,,, et désignons par ‘rn et D
respectivement la moyenne et la variante, toutes deux inconnues.
a - Cas de la moyenne - Nous définissons la rnoycnnc au moyen dc l’expression :
IC=I
En vertu de la loi des grands nombres (théorème de Bernoulli), l’estimation ?71, converge en
probabilité vers m.
À présent, supposons que l’on réalise n’ expériences ayant fourni chacune une moyenne m, , j =
1, 2, . , n’. On peut écrire :
on voit alors que l’estimateur n’est pas biaisé, et que la moyenne de la moyenne est encore la
rnoycnne. En ce qui concerne la variante de rn :
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