MANUEL DE CALCUL NUMÉ RIQUE APPLIQUÉ
b. on peut avoir des raisons particulières dc SC méfier des valeurs de u trop petites et le domaine
des valeurs possibles devient u > xi et le domaine des valeurs improbables u 5 ~2. Dans la
dernière cvcntualité, on rejettera l’hypothèse H avec Q chances sur cent dc la rcjctcr à tort, :
c. on peut aussi avoir des raisons de se mefier à la fois des valeurs trop petit,cs ct trop grandes
de U, autrement dit on se méfie des valeurs de u qui se situent dans les queues dc distribution.
Le domaine des valeurs probables dcvicnt x:>,~ 5 u < XT& et les domaines des valeurs
improbables u < ,J$,~ ct I L > x~~,,,~. Dans la dernière éventualité, on rejettera l’hypothesc
H avec o chances sur cent de la rejeter à tort.
5. Critère de Kolmogorov (1903-1987)
Il s’agit d’un critcrc de mesure de la conformité (ou de la non-conformitc) qui présente un grand
inti:rct dans la mesure où il est très simple d’emploi. Ici la mcsurc de la conformité ‘ U est le sup
du module dc la différence entre les répartitions theoriquc F(z) et cxperimentale F* (CE). Donc :
tu = sup IF(z) -F*(z)/.
Bien entendu, 71 est une variable aléatoire. Là encore, il est possible de montrer que la répartition
de v ne dépend pas de F(z) à condition toutefois que la taille de l’échantillon n soit très
grand devant, l’unité (71 est le nombre d’cxpcricnces indépendantes). La probabilit,e dc l’incgalité
TJ~ > X est donnfe par l’expression :
30
! I x2
p(X) = l- C (-1)‘exp (-2k2X2) = 2x3l)“:+‘exp (-2k”X”).
l,.-m
hz1
Voici quelques valeurs dc p(X) :
x
0,o
0,5
1,o
1,5
2,0
p(X) 1,O 0,964 0,27 0,022 0,001
Pour utiliser le critère de Kolmogorov, il suffit de :
a. calculer 21 puis TI&,
b. chercher dans la table de p(X) la probabilité correspondante.
C’est la probabilité que l’ecart, maximal entre les deux répartitions soit non inférieur à la valeur
obscrvi‘c, à condition toutefois que les écarts soient dus uniquernern
a des facteurs aléatoires.
Remarque : On notera l’abscncc de degré de liberté dans l’expression dc cc critère. Il s’ensuit
qu’il est plus «optimiste » que le précédent critère.
Le programme kolmogor . c sur le Web (*) calcule les valeurs dc ccttc distribution.
6. Estimation des paramètres d’une loi inconnue. Estimateurs
La formulation d’une hypothesc H conduit à exprirner une certaine loi dont on recherchera
l’éventuelle conformité. Les paramètres intcrvcnant dans la loi devront être estimés à partir
de l’échantillon. Il faut bien préciser que ces estimations sont des variables aléatoires et nous
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
356
b. on peut avoir des raisons particulières dc SC méfier des valeurs de u trop petites et le domaine
des valeurs possibles devient u > xi et le domaine des valeurs improbables u 5 ~2. Dans la
dernière cvcntualité, on rejettera l’hypothèse H avec Q chances sur cent dc la rcjctcr à tort, :
c. on peut aussi avoir des raisons de se mefier à la fois des valeurs trop petit,cs ct trop grandes
de U, autrement dit on se méfie des valeurs de u qui se situent dans les queues dc distribution.
Le domaine des valeurs probables dcvicnt x:>,~ 5 u < XT& et les domaines des valeurs
improbables u < ,J$,~ ct I L > x~~,,,~. Dans la dernière éventualité, on rejettera l’hypothesc
H avec o chances sur cent de la rejeter à tort.
5. Critère de Kolmogorov (1903-1987)
Il s’agit d’un critcrc de mesure de la conformité (ou de la non-conformitc) qui présente un grand
inti:rct dans la mesure où il est très simple d’emploi. Ici la mcsurc de la conformité ‘ U est le sup
du module dc la différence entre les répartitions theoriquc F(z) et cxperimentale F* (CE). Donc :
tu = sup IF(z) -F*(z)/.
Bien entendu, 71 est une variable aléatoire. Là encore, il est possible de montrer que la répartition
de v ne dépend pas de F(z) à condition toutefois que la taille de l’échantillon n soit très
grand devant, l’unité (71 est le nombre d’cxpcricnces indépendantes). La probabilit,e dc l’incgalité
TJ~ > X est donnfe par l’expression :
30
! I x2
p(X) = l- C (-1)‘exp (-2k2X2) = 2x3l)“:+‘exp (-2k”X”).
l,.-m
hz1
Voici quelques valeurs dc p(X) :
x
0,o
0,5
1,o
1,5
2,0
p(X) 1,O 0,964 0,27 0,022 0,001
Pour utiliser le critère de Kolmogorov, il suffit de :
a. calculer 21 puis TI&,
b. chercher dans la table de p(X) la probabilité correspondante.
C’est la probabilité que l’ecart, maximal entre les deux répartitions soit non inférieur à la valeur
obscrvi‘c, à condition toutefois que les écarts soient dus uniquernern
a des facteurs aléatoires.
Remarque : On notera l’abscncc de degré de liberté dans l’expression dc cc critère. Il s’ensuit
qu’il est plus «optimiste » que le précédent critère.
Le programme kolmogor . c sur le Web (*) calcule les valeurs dc ccttc distribution.
6. Estimation des paramètres d’une loi inconnue. Estimateurs
La formulation d’une hypothesc H conduit à exprirner une certaine loi dont on recherchera
l’éventuelle conformité. Les paramètres intcrvcnant dans la loi devront être estimés à partir
de l’échantillon. Il faut bien préciser que ces estimations sont des variables aléatoires et nous
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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