MANUEL DE CALCTJL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Si l’on choisit N = 72, il est possible de montrer que la fonction de répartition de U ne dépend
pratiquement pas de la fonction de repartition F(z), ni de n, mais uniquement du nombre
d’intervalles de regroupement k qui a servi à construire l’histogramme. Dans cc cas, on dit que
U obi;it à une loi du x2, et l’on a :
u = r2.
& (Pi -PJ”
i=l
PL
u est la valeur numérique de la conformité. On trouvera plus loin une démonstration de ces
affirmations (cf. 5 14.1 Annexe H, p. 443).
Remarque 1 : La loi thkorique dépend dc 1- 1 parametres inconnus que l’on va chercher à
déterminer.
Remarque 2 : 71 est le nombre d’observations indépendantes de la variable alCat,oire 2; et k
le nornbre d’intervalles de regroupement. Il est nécessaire d’obtenir un nombre minimum de
plusieurs unités ~ voire une dizaine ~ dans chacun des intervalles de regroupement. Si tel n’est
pas le cas, il faut regrouper certains intervalles pour qu’il en soit ainsi.
Remarque S : La variable U obCit à une loi du x2 à rn degrés de liberté lequel est déterminé
par le nombre d’intervalles de regroupement k moins le nombre de contraintes auxquelles est
soumise la loi. Ces contraintes sont constituks par le nombre de paramètres inconnus p figurant
dans la loi théorique auquel il convient d’ajouter la valeur 1 car il y a une contrainte implicite
qui est la normalisation de la loi de distribution. D’où :
m=k-p-1.
Remarque 4 : Il n’y a pas de difficulté à calculer la probabiliti: 0 de dépasser la valeur numérique
U, soit en ayant programrné la loi du x2 à m degrés de liberté, soit CII consultant une table figurant
à la fin de tous les manuels. Si cette probabilitt: B est très petite, on rejette l’hypothèse H avec 0
chances de la rejeter à tort. Dans le cas contraire, l’hypothèse H est vraisemblable c’est-à-dire
qu’elle n’est pas en contradiction avec les données exp&imentales.
Remarque 5 : Parler de probabilité très petite n’a pas grand sens si l’on ne SC fixe un seuil
de signification cti. Dkm point de vue pratique, si 0 est infkricur à 0,05, il y a lieu de vérifier si
possible l’expérience, et si les écarts persistent, il y a lieu de chercher une autre loi. Cela signifie
que l’on prend le risque de rejeter à tort l’hypothèse H avec 5 charms sur cent...
Remarque 6 : Le test du x2 est à rapprocher de la preuve par neuf. La preuve par neuf ne dit
pas quand l’opkration est juste, elle dit seulement quand elle est fausse. Autrement dit, si la
preuve par neuf ne donne pas, lors du processus de calcul, les deux derniers nombres identiques,
on est certain que l’opération est fausse. En revanche, si les deux dernieres opérations sont
identiques cela signifie que l’opération peut être correcte ou encore que, s’il y a une erreur:
l’erreur est modulo 9. Il en est de même du x2. On peut aisément trouver plusieurs lois tout
à fait acceptables qui peuvent rendre compte correctement de la statistique d’un échantillon
donnk. Le critère du x2 ne permet pas de dire qu’une loi est meilleure ou pire qu’une autre.
Simplement, nous savons que les données expérimentales ne sont pas en contradiction avec les
différentes hypothèses formulées.
4.1. Un exemple - Vérification d’un générateur de nombres aléatoires gaussiens
À partir d’un générateur de nombres aléatoires à distribution uniforme, on se propose de
fabriquer un générateur de nombres aléatoires gaussiens. Notre hypothèse H est donc la loi
de Gauss-Laplace. Nous avons généré 4 096 nornbres aléatoires gaussiens en choisissant la
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NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Si l’on choisit N = 72, il est possible de montrer que la fonction de répartition de U ne dépend
pratiquement pas de la fonction de repartition F(z), ni de n, mais uniquement du nombre
d’intervalles de regroupement k qui a servi à construire l’histogramme. Dans cc cas, on dit que
U obi;it à une loi du x2, et l’on a :
u = r2.
& (Pi -PJ”
i=l
PL
u est la valeur numérique de la conformité. On trouvera plus loin une démonstration de ces
affirmations (cf. 5 14.1 Annexe H, p. 443).
Remarque 1 : La loi thkorique dépend dc 1- 1 parametres inconnus que l’on va chercher à
déterminer.
Remarque 2 : 71 est le nombre d’observations indépendantes de la variable alCat,oire 2; et k
le nornbre d’intervalles de regroupement. Il est nécessaire d’obtenir un nombre minimum de
plusieurs unités ~ voire une dizaine ~ dans chacun des intervalles de regroupement. Si tel n’est
pas le cas, il faut regrouper certains intervalles pour qu’il en soit ainsi.
Remarque S : La variable U obCit à une loi du x2 à rn degrés de liberté lequel est déterminé
par le nombre d’intervalles de regroupement k moins le nombre de contraintes auxquelles est
soumise la loi. Ces contraintes sont constituks par le nombre de paramètres inconnus p figurant
dans la loi théorique auquel il convient d’ajouter la valeur 1 car il y a une contrainte implicite
qui est la normalisation de la loi de distribution. D’où :
m=k-p-1.
Remarque 4 : Il n’y a pas de difficulté à calculer la probabiliti: 0 de dépasser la valeur numérique
U, soit en ayant programrné la loi du x2 à m degrés de liberté, soit CII consultant une table figurant
à la fin de tous les manuels. Si cette probabilitt: B est très petite, on rejette l’hypothèse H avec 0
chances de la rejeter à tort. Dans le cas contraire, l’hypothèse H est vraisemblable c’est-à-dire
qu’elle n’est pas en contradiction avec les données exp&imentales.
Remarque 5 : Parler de probabilité très petite n’a pas grand sens si l’on ne SC fixe un seuil
de signification cti. Dkm point de vue pratique, si 0 est infkricur à 0,05, il y a lieu de vérifier si
possible l’expérience, et si les écarts persistent, il y a lieu de chercher une autre loi. Cela signifie
que l’on prend le risque de rejeter à tort l’hypothèse H avec 5 charms sur cent...
Remarque 6 : Le test du x2 est à rapprocher de la preuve par neuf. La preuve par neuf ne dit
pas quand l’opkration est juste, elle dit seulement quand elle est fausse. Autrement dit, si la
preuve par neuf ne donne pas, lors du processus de calcul, les deux derniers nombres identiques,
on est certain que l’opération est fausse. En revanche, si les deux dernieres opérations sont
identiques cela signifie que l’opération peut être correcte ou encore que, s’il y a une erreur:
l’erreur est modulo 9. Il en est de même du x2. On peut aisément trouver plusieurs lois tout
à fait acceptables qui peuvent rendre compte correctement de la statistique d’un échantillon
donnk. Le critère du x2 ne permet pas de dire qu’une loi est meilleure ou pire qu’une autre.
Simplement, nous savons que les données expérimentales ne sont pas en contradiction avec les
différentes hypothèses formulées.
4.1. Un exemple - Vérification d’un générateur de nombres aléatoires gaussiens
À partir d’un générateur de nombres aléatoires à distribution uniforme, on se propose de
fabriquer un générateur de nombres aléatoires gaussiens. Notre hypothèse H est donc la loi
de Gauss-Laplace. Nous avons généré 4 096 nornbres aléatoires gaussiens en choisissant la
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