23. CRITÈRES DE CONFORMITÉ
3. Conformité entre une répartition théorique et une répartition
expérimentale (ou répartition statistique)
Apres avoir soigneuscmcnt, examiné la répartition cxpérimerkalc~ on est en nicww de pressentir une loi analytique susceptible de reprksenter
théoriqucmrnt l’enscmlk des données
tic
l’écliantillon.
Inévitahlcment, il existe des karts entre la loi expérimentale et la loi thknique. et lc problème
dc fond consist,c à pouvoir dire si ces fluctuations sont dues au hasard ou non. et surtout
avec quelle probabilité. En effet j la représentation de la loi expi:rimentale est int,imement
li& à
l‘échantillon bt,udié. Un autre Cchantillon donnera une loi expi:rimentalc plus ou moins diff&cnte,
ainsi qu’un suivant. Donc, lc problème concernant la conformité dc la loi expkimcnt,ale et
de la loi théorique rcposc uniquernent sur la taille restreinte de 1’~chantillon (nombre
rbduit
d’observations). Ce prohkmc devient caduque si l’on 6tudic toute la poplllation parcnt,cl. alors.
il n’y a plus qu’une sculc loi expériment,alc possible.
La recherche d‘une loi thborique consiste donc à forrnulcr une cert~ainc~ hypothk H c: t ) l’or1
veut savoir si cette hypothèse est conforme aux donnk:s rxpérimcntalw En fin dc compte, on
veut savoir si l’on peut ou non adopter cette hypoth&e H et avec quel degré dc wrtit,ude.
Il s’agit, donc de clkfinir une mesure de la conformité que rien n’empkhc d?s maintenant
de désigner par U. Force est de remarquer que U est une variable albatoire dout la loi de
rkpartition sera u pr%ori lik à la distribution de la variahlc a.léatoirc Ctudiée :I; rt, dc la ta,ille 1)
dr: l’échantillon.
Si l’hypothèse est correcte; la loi dc répartit,ion dc U est déttrmink par la loi tic répartition
tic :I: et par le nombre n. Désignons par z: la valeur particulikc prise par la variaMe albatoire
U dans une expkicncc bien dét,erminke.
Alors notre problème dc conformitk consiste & savoir si
la valeur calcul&: ~ 1 s’explique par lc hasard ou encore si la valeur ‘u est trop grande et, indique
alors urle diff&encr essentielle entre les deux répartitions thkorique ct, statistique. Cc dernier
cas de figure montrerait alors que l’hypothke H devrait etre rejet&, mais cela n’tst pas aussi
simple que les apparences lc montrent.
Après avoir détermini: la valeur numérique ‘II: on calcule la probabilité pour que la variable
alkatoire U puisse effectivement dépasser V. Soit P cette prohabilitb. Si P a une valeur « t,rop
petite », on doit alors rejeter l’hypothbc H, elle apparaît alors comme peu vraisemblable.
Choix de la mesure de U
La prcmke difficulté rencontrée pour choisir une mesure dc U repose sur le fait que la rkpartit,ion
de U dkpend de la rkpartition dc 2. Il se trouve fort heureusement que, dans certains cas: la loi
de rkpartition de U a des propriktk simples: et, pour n grand devant, l’unité, ccttc loi ne depcnd
plus de la. loi de répartition des z. Nous allons voir deux mesures de U.
4. Le xi de Pearson (1857-1936)
On désigne par pi la probabilité théorique de t,ornhcr dans l’intervalle i: ct par p, la. prol)al)ilitP
r~xpérirncntale
de tomber dans le mkne intervalle.
Pour la mesure de U, on choisit la somme des car& des diffkw~crs (p, -$,)” que l’on pondère
par lc coefficient ci. ci tient compte des valeurs relatives des écarts quaclratiqurs a ap, 6gal.
l’importance étant plus grande si api est petit. C’est la raison pour laquelle: on pwnd c, = o/p;.
c’est-k-dire proportionnel à l/pi.
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3. Conformité entre une répartition théorique et une répartition
expérimentale (ou répartition statistique)
Apres avoir soigneuscmcnt, examiné la répartition cxpérimerkalc~ on est en nicww de pressentir une loi analytique susceptible de reprksenter
théoriqucmrnt l’enscmlk des données
tic
l’écliantillon.
Inévitahlcment, il existe des karts entre la loi expérimentale et la loi thknique. et lc problème
dc fond consist,c à pouvoir dire si ces fluctuations sont dues au hasard ou non. et surtout
avec quelle probabilité. En effet j la représentation de la loi expi:rimentale est int,imement
li& à
l‘échantillon bt,udié. Un autre Cchantillon donnera une loi expi:rimentalc plus ou moins diff&cnte,
ainsi qu’un suivant. Donc, lc problème concernant la conformité dc la loi expkimcnt,ale et
de la loi théorique rcposc uniquernent sur la taille restreinte de 1’~chantillon (nombre
rbduit
d’observations). Ce prohkmc devient caduque si l’on 6tudic toute la poplllation parcnt,cl. alors.
il n’y a plus qu’une sculc loi expériment,alc possible.
La recherche d‘une loi thborique consiste donc à forrnulcr une cert~ainc~ hypothk H c: t ) l’or1
veut savoir si cette hypothèse est conforme aux donnk:s rxpérimcntalw En fin dc compte, on
veut savoir si l’on peut ou non adopter cette hypoth&e H et avec quel degré dc wrtit,ude.
Il s’agit, donc de clkfinir une mesure de la conformité que rien n’empkhc d?s maintenant
de désigner par U. Force est de remarquer que U est une variable albatoire dout la loi de
rkpartition sera u pr%ori lik à la distribution de la variahlc a.léatoirc Ctudiée :I; rt, dc la ta,ille 1)
dr: l’échantillon.
Si l’hypothèse est correcte; la loi dc répartit,ion dc U est déttrmink par la loi tic répartition
tic :I: et par le nombre n. Désignons par z: la valeur particulikc prise par la variaMe albatoire
U dans une expkicncc bien dét,erminke.
Alors notre problème dc conformitk consiste & savoir si
la valeur calcul&: ~ 1 s’explique par lc hasard ou encore si la valeur ‘u est trop grande et, indique
alors urle diff&encr essentielle entre les deux répartitions thkorique ct, statistique. Cc dernier
cas de figure montrerait alors que l’hypothke H devrait etre rejet&, mais cela n’tst pas aussi
simple que les apparences lc montrent.
Après avoir détermini: la valeur numérique ‘II: on calcule la probabilité pour que la variable
alkatoire U puisse effectivement dépasser V. Soit P cette prohabilitb. Si P a une valeur « t,rop
petite », on doit alors rejeter l’hypothbc H, elle apparaît alors comme peu vraisemblable.
Choix de la mesure de U
La prcmke difficulté rencontrée pour choisir une mesure dc U repose sur le fait que la rkpartit,ion
de U dkpend de la rkpartition dc 2. Il se trouve fort heureusement que, dans certains cas: la loi
de rkpartition de U a des propriktk simples: et, pour n grand devant, l’unité, ccttc loi ne depcnd
plus de la. loi de répartition des z. Nous allons voir deux mesures de U.
4. Le xi de Pearson (1857-1936)
On désigne par pi la probabilité théorique de t,ornhcr dans l’intervalle i: ct par p, la. prol)al)ilitP
r~xpérirncntale
de tomber dans le mkne intervalle.
Pour la mesure de U, on choisit la somme des car& des diffkw~crs (p, -$,)” que l’on pondère
par lc coefficient ci. ci tient compte des valeurs relatives des écarts quaclratiqurs a ap, 6gal.
l’importance étant plus grande si api est petit. C’est la raison pour laquelle: on pwnd c, = o/p;.
c’est-k-dire proportionnel à l/pi.
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