MANUEL DE CALCUL NTJMÉRIQUE APPLIQUÉ
6.4. Variante d’un produit de variables aléatoires
Il nous faut calculer D[X . Y]. pour cela posons 2 = X Y :
D[X Y] = D[Z] = M [Z;] = M [(Z - m,Jz]
avcvcc
m, = M[X . Y] = rr~,~rn, + Kz.,
D[X.Y] =M [Z” +m; - 2m,Z] = M [Z”] + mz - 2m,M[Z] = M [Z”] ~ mi
= M [X”Y”] - 2(m,m, + K:,J.y)M[X . Y] + (m,m, + K.1.,7,)2
= M [X”Y”] ~ 2(m,.m,q + K~~.y)(m~.c~r~~y
+ Kz.,) + (m,m, + Kz,y)2
D[X . Y] = M [X”Y”] ~ (ml.m,y + K,,.,,y)2.
Dans cette dernière expression, on voit apparaître la covariance. Dans lc cas particulier où
les variables sont indépendantes, la dernière expression se simplifie. Puisque X et Y sont des
variables independantes. il en est de même de X2 et Y” ; alors. en tenant compte du fait que
KL,II = 0. ou peut écrire :
D[X . Y] = M[X’]M[Y”] - ,,$z;
soit : L)[X. Y] = D[X] D[Y] + ml.D[Y] + rniD[X].
Si les variahlcs sont centrées, or1 obtient :
D[~O. 61 = D[&l D[yOl.
7. Propriétés du coefficient de corrélation (démonstrations)
Si les variables aléatoires X et Y sont liks linéairement :
alors le coefficient de corrélation vaut *l. En effet,, à partir de la covariance on peut Ccrire :
K x,?J = MIXo.Yo] = M [(X ~ 7~) (Y ~ m,)]
En remarquant que my = ~TL,~ + b
Kz,, = M [(X - m,) . (nX + b - am, ~ b)] = uM[X”] ~ mn,.M[X] - nm,.M[X] + arn~
= uM[X2] - arnz = aD[X].
Reportons cette valeur dans l’expression du coefficient de corrblation :
Il reste à exprimer gy :
On en conclut que T,,~ = +1 si a est positif et -1 si a est nkgatif.
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