23. S YSTÈMES À PLUSIEURS
VARIABLES
ALÉATOIRES
On démontrera évidemment le même théorème en ce qui concerne les variables continues.
Insistons sur le fait que cette relation est indépendante du fait que les variables aléatoires soient
indépendantes ou non. Ce théorème est susceptible d’une genéralisation simple :
M 2xi =CM[X,].
I 1
i=l
?=l
6.2. Variante d’une somme de variables aléatoires
Nous allons calculer D[X + Y]. Après avoir posé 2 = X + Y, on passe aux variables centrées
que l’on indice avec un zéro :
2, = X” + Yo.
On obtient alors les expressions suivantes :
D[X + Y] = D[Z] = M [Z;] = M [Xi] + M [Y;] + 2M [XoJ$] = D[X] + D[Y] + 2Kz.,.
On note alors que la variante de la somrne de deux variables aléatoires est la somme et de
leur variante respective augmentée de deux fois la covariance.
Ici encore il est intéressant de généraliser à une somme quelconque :
Li=l
J
%=l
r
n i
7L
n
Li=l
1
i=l j=l
et l’on remarquera que la variante de la somme de variables est égale à la somme des variantes
de chacune des variables si celles-ci sont toutes indépendantes.
6.3. Moyenne d’un produit de variables aléatoires
Il nous faut calculer M[X Y] dont nous obtenons l’expression à partir de la covariance :
Kcz,, = M [X, Y”] = M [(X ~ m,) (Y - m,,)]
m, = M[X]
et
m, = M[Y].
Le développement de l’équation donne :
K z,, = M[X . Y] ~ mEM[Y] - m,M[X] + m,m,
ii,,, = M[X . Y] ~ m,m, = M[X Y] ~ M[X]M[Y]
M[X . Y] = M[X]M[Y] + Kz,u.
Si les variables sont indépendantes, Kz,y = 0, et la moyenne du produit est égale au produit
des moyennes. On généralise ce théorème au cas d’un produit de n variables aléatoires
indépendantes :
7 1 ,
M
nXi =
fiM,Xi].
I 1
i=l
i=l
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