23. S YSTÈ MES À PLUSIEURS VARIABLES ALÉAT~IR~~S
deux variables X ct Y eu divisant Kz,y par l’kcart t,ype de chacune des variables, soit a,r et og.
On définit alors :
&.y
r:,:.y = d>
fl:rclJ
on notera que ce rapport est adimensionnel. Ici encore, si X et Y sont indépendantes, alors
I’.r.,y = 0.
Attention, la proposition réciproque est fausse. Si deux variables aléatoires X et Y ont un
coefficient de corrklation nul (TT,y = 0), cela ne signifie pas que X ct, Y sont des variables
indépendantes.
Lc fait que r’s,l/ soit nul signifie non pas que les variables soient indépendantes mais qu’cGs
ne sont pas linéairement dépendantes.
Il est, possible de t,rouver IIII exemple sirnple qui moutre que des variables X et Y non
corrélées sont cependant dkpendantes. Considérons deux variables alhtoires X et Y réparties
uniformhnent à l’intérieur d’un cercle dc rayon R centré à l’origine des coordonnées. La densité
de probabilité s’écrit :
f(z; y) = p pour 2’ + y” < R2
et f(:r, y) = 0 ailleurs.
La normalisation dr la densité dc probabilité donne la valeur dc 11 :
+CC
+CC
l=
JJ
j-(x: y) <1: x: dy =
JJ
pdz dy ==+ p=&.
-x
-00
Les variables sont dépendantes puisque, pour y fixC: dans le cercle, z ne peut pas prendre n’importe quelles valeurs: mais seulement celles comprises dans l’intervalle (- Jm; Jm)
ou encore si I C = R: y = 0. Exprimons la covariance : elle est, nulle puisque la moyenne de z et,
la moyenne de y sont nulles.
Kz,,, = 0.
b - Le coefficient de corrélation caractérise non pas une relation quelconque entre deux
variahlcs, mais une relation linéaire. Quand une des variables croît, l’autre suit une loi linéaire
au sens des probabilités ct le coefficient dc corrélation indique le «degré » de cette dépendance
linéaire. Dans le cas dkme relation fonctionnelle linhire exacte, on a :
autrement dit lorsque Y = aX + h. Si la loi de dépendance linéaire est quelconque, alors IIOUS
avons :
-1 I T:z,y < +1.
la corrélation étant positive ou négative. Nous allons démontrer ces résultats au paragraphe 6.
5. Généralisation au cas de plusieurs variables
Il n’y a pas de difficultk à étendre ces résultats au cas de plusiews variables aléatoires
XI, X2, . , X,, ; ainsi, la covariance et la corrélation SC calculent, pour toutes les variables prises
deux à deux. Si les variables sont au nombre de n, alors il y a n2 coefficients de covariancc et n2
coefficients de corrélation. Dans chacun de ces deux cas. les coefficients sont naturellement les
Pléments
d’une matrice carrée d’ordre n.
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deux variables X ct Y eu divisant Kz,y par l’kcart t,ype de chacune des variables, soit a,r et og.
On définit alors :
&.y
r:,:.y = d>
fl:rclJ
on notera que ce rapport est adimensionnel. Ici encore, si X et Y sont indépendantes, alors
I’.r.,y = 0.
Attention, la proposition réciproque est fausse. Si deux variables aléatoires X et Y ont un
coefficient de corrklation nul (TT,y = 0), cela ne signifie pas que X ct, Y sont des variables
indépendantes.
Lc fait que r’s,l/ soit nul signifie non pas que les variables soient indépendantes mais qu’cGs
ne sont pas linéairement dépendantes.
Il est, possible de t,rouver IIII exemple sirnple qui moutre que des variables X et Y non
corrélées sont cependant dkpendantes. Considérons deux variables alhtoires X et Y réparties
uniformhnent à l’intérieur d’un cercle dc rayon R centré à l’origine des coordonnées. La densité
de probabilité s’écrit :
f(z; y) = p pour 2’ + y” < R2
et f(:r, y) = 0 ailleurs.
La normalisation dr la densité dc probabilité donne la valeur dc 11 :
+CC
+CC
l=
JJ
j-(x: y) <1: x: dy =
JJ
pdz dy ==+ p=&.
-x
-00
Les variables sont dépendantes puisque, pour y fixC: dans le cercle, z ne peut pas prendre n’importe quelles valeurs: mais seulement celles comprises dans l’intervalle (- Jm; Jm)
ou encore si I C = R: y = 0. Exprimons la covariance : elle est, nulle puisque la moyenne de z et,
la moyenne de y sont nulles.
Kz,,, = 0.
b - Le coefficient de corrélation caractérise non pas une relation quelconque entre deux
variahlcs, mais une relation linéaire. Quand une des variables croît, l’autre suit une loi linéaire
au sens des probabilités ct le coefficient dc corrélation indique le «degré » de cette dépendance
linéaire. Dans le cas dkme relation fonctionnelle linhire exacte, on a :
autrement dit lorsque Y = aX + h. Si la loi de dépendance linéaire est quelconque, alors IIOUS
avons :
-1 I T:z,y < +1.
la corrélation étant positive ou négative. Nous allons démontrer ces résultats au paragraphe 6.
5. Généralisation au cas de plusieurs variables
Il n’y a pas de difficultk à étendre ces résultats au cas de plusiews variables aléatoires
XI, X2, . , X,, ; ainsi, la covariance et la corrélation SC calculent, pour toutes les variables prises
deux à deux. Si les variables sont au nombre de n, alors il y a n2 coefficients de covariancc et n2
coefficients de corrélation. Dans chacun de ces deux cas. les coefficients sont naturellement les
Pléments
d’une matrice carrée d’ordre n.
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