2.
Q UELQUES
ALGORITHMES
ACCÉ L É RATEURS
DE
LA
CONVERGENCE
DES
SUITES
Remarque : Si *i(X) et *z(X) vérifient les conditions de la généralisation, alors les fonctions :
g1(2) = a191(2) + a2*2(5)
92(x) = @l(X) .@2(x)
vérifient aussi les conditions de la généralisation.
2.3. Relation entre le procédé A* d’Aitken et celui de Richardson
Revenons à l’expression (2.3) obtenue en remplaçant 2, par &S’~“‘. Elle vérifie les conditions
des théorèmes précédents, et si l’on fait Ic = 0, nous obtenons :
s(O) $1
s(1) = 3
3+2 - sec&,
.
3
S!OI -
3+2
2s!O)
3+1 +
S!OI
3
On reconnaît le procédé d’Aitken en réduisant au même dénorn~;$eur l’expression (2.3), et du
reste on verra un peu plus loin que ce vecteur de composantes Sj
est également la deuxième
colonne du tableau de l’epsilon-algorithme.
Un exemple numérique - Nous allons appliquer l’algorithme de Richardson à la suite des
sommes partielles de la série :
szl+;+$+;+$+...=g = 1,644 934 066 8. . .
Ici il nous faut en plus choisir une suite auxiliaire, et nous avons retenu arbitrairement la
suite classique 2, = 6 convergente et qu’il ne faut pas confondre avec la série harmonique qui
diverge.
Nous avons effectué les calculs avec les 25 premières sommes, et voici les résultats trouvés :
S(25) = 1,605 723 403
S(Richardson) = 1,644941.
En comparant avec le résultat connu on voit que l’erreur relative sur la somme est de 5,0 10-‘.
On trouvera sur le Web (*) un sous-programme richar0. c qui réalise cet algorithme.
3. Présentation de I’epsilon-algorithme scalaire
Il s’agit sans doute, dans l’état actuel des connaissances, du plus puissant algorithme permettant
d’accélérer la convergence des suites. Comme précédemment on conserve les notations introduites
au cours de ce chapitre, à l’exception toutefois de la suite initiale qui prend le rang 1 au lieu du
rang zéro. Autrement dit, la suite initiale s’écrit : St).
Les termes de la deuxième suite s’expriment au moyen des relations suivantes :
$2) = s(O) +
1
k
k+l
s(1)
k+l
- s(1)
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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