MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
b - Théorème II - Si la suite X ~ C (formée de nombres réels positifs, décroissante et tendant
vers zéro lorsque n tend vers l’infini) vérifie la relation :
pour tout n, alors la limite de la suite Sj”’ tend vers S quand k tend vers l’infini. La condition
énoncée est nécessaire et suffisante. Ce théorème nous donne des indications sur les choix
possibles de la suite des xj, Par exemple, il est raisonnable de retenir la suite x, = om et
de l’assortir de la condition 0 < Q < 1.
c - Théorème III - Dans le cas où Sj( O) = @(xj) et que a(x) est suffisamment dérivable, et
que le module de la dérivée (k + 1)” demeure borné sur l’intervalle 1 (1 est le plus petit intervalle
contenant le point zéro et toute la suite 2,) par un nombre M indépendant de ~ç, alors (k)
S,
tend vers S quand 1 tend vers l’infini. Si de plus M est indépendant de k, alors S/“) tend vers
S lorsque k tend vers l’infini.
d - Théorème IV - (Ce théorème concerne l’accélération de la convergence.) Dans le cas où
les conditions du théorème II sont satisfaites, pour que la suite Si”:+‘) converge plus vite que la
suite S!“I il faut et il suffit que :
3 ’
lim
~ quand m tend vers l’infini.
Cependant, force nous est de reconnaître que cette condition n’est pas aisément vérifiable
dans les cas pratiques.
2.2. Généralisation du procédé de Richardson
On considère une fonction Q(x) définie, continue et strictement croissante sur l’intervalle (0, /3)
avec / 3 > 0. Alors, dans la relation (2.2), on peut remplacer zq par [a(~~) - Q(O)] sans que rien
de ce qui vient d’être établi ne soit modifié. On obtient alors la relation :
S!“+I) = P(%I - q(o)1 sj+1 - [fqZj+,+,) - Q(O)] sj”’ .
3
'(xj) -*bj+k+l)
Le théorème 1 s’énonce alors de la façon suivante :
Théorème V - Pour que S!“) 3 tende vers S quel que soit j > N, il faut et il suffit que :
sg = s-t &@Xj) - q(o)).
i=l
Voici quelques choix possibles pour les fonctions *I(Z) :
(2.4)
@I(x) = xq
Q(x) = cf
Q(x) = log,(l +x).
avec 4 2 1
avec a > 1
34
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
b - Théorème II - Si la suite X ~ C (formée de nombres réels positifs, décroissante et tendant
vers zéro lorsque n tend vers l’infini) vérifie la relation :
pour tout n, alors la limite de la suite Sj”’ tend vers S quand k tend vers l’infini. La condition
énoncée est nécessaire et suffisante. Ce théorème nous donne des indications sur les choix
possibles de la suite des xj, Par exemple, il est raisonnable de retenir la suite x, = om et
de l’assortir de la condition 0 < Q < 1.
c - Théorème III - Dans le cas où Sj( O) = @(xj) et que a(x) est suffisamment dérivable, et
que le module de la dérivée (k + 1)” demeure borné sur l’intervalle 1 (1 est le plus petit intervalle
contenant le point zéro et toute la suite 2,) par un nombre M indépendant de ~ç, alors (k)
S,
tend vers S quand 1 tend vers l’infini. Si de plus M est indépendant de k, alors S/“) tend vers
S lorsque k tend vers l’infini.
d - Théorème IV - (Ce théorème concerne l’accélération de la convergence.) Dans le cas où
les conditions du théorème II sont satisfaites, pour que la suite Si”:+‘) converge plus vite que la
suite S!“I il faut et il suffit que :
3 ’
lim
~ quand m tend vers l’infini.
Cependant, force nous est de reconnaître que cette condition n’est pas aisément vérifiable
dans les cas pratiques.
2.2. Généralisation du procédé de Richardson
On considère une fonction Q(x) définie, continue et strictement croissante sur l’intervalle (0, /3)
avec / 3 > 0. Alors, dans la relation (2.2), on peut remplacer zq par [a(~~) - Q(O)] sans que rien
de ce qui vient d’être établi ne soit modifié. On obtient alors la relation :
S!“+I) = P(%I - q(o)1 sj+1 - [fqZj+,+,) - Q(O)] sj”’ .
3
'(xj) -*bj+k+l)
Le théorème 1 s’énonce alors de la façon suivante :
Théorème V - Pour que S!“) 3 tende vers S quel que soit j > N, il faut et il suffit que :
sg = s-t &@Xj) - q(o)).
i=l
Voici quelques choix possibles pour les fonctions *I(Z) :
(2.4)
@I(x) = xq
Q(x) = cf
Q(x) = log,(l +x).
avec 4 2 1
avec a > 1
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