2. QUELQUESALGORITHMESACCÉLÉRATEURSDE
LA CONVERGENCE DE~ SUITES
Tableau 2.1.
$0)
0
$)
Sp
s(O)
2
s(O)
4
Sp
Sp
@
s(l)
3
Sf ’
42)
1
Sp
SO”’
Sj3)
on obtient alors un algorithme qui n’est plus en triangle et qui n’est plus linéaire. La relation
générale est donnée par l’expression :
As(“)s’k’
s(L+l)
_
m
m+l
- ASE)tk+lSgJ
’
m
AS(“’ - ASEik+l
(2.3)
2.1. Quelques éléments de théorie
Revenons à la suite initiale Si”’ qui converge vers S ainsi qu’à la suite auxiliaire 21, indépendante
des Sj”’ que l’on suppose d’une part strictement décroissante et d’autre part tendre vers zéro
lorsque n tend vers l’infini. Le procédé d’extrapolation de Richardson est fondé sur la formule de
Neville-Aitken qui donne une façon de construire les polynômes d’interpolation pour une valeur
particulière de la variable (cJ chapitre 6 sur l’interpolation). En effet, Sj”’ est la valeur en zéro
du polynôme d’interpolation de degré Ic, lequel, aux abscisses xpr prend les valeurs SF’ pour
p=j,j+l,...,j+ k.
À présent nous allons énoncer quelques théorèmes importants, mais dont nous ne donnons
pas la démonstration.
a - Théorème / - Pour que S!“) tende vers S quel que soit j > N, il faut et il suffit que
sg’=s+g3
z-r aixi, quel que soit m > N.
Autrement dit, les Sj’) peuvent s’exprimer sous la forme d’un rapport de deux déterminants,
ce qui constitue une autre expression de ce théorème :
s(O)
3
. . . S!O)
J+k
xj
. . xj+k
. . . . . . . . . . . . . . .
,$k)
= x:
‘..
x:+k
3
1
. . .
1
xj . . . xj+k
. . . . . . . . . . . . . .
x3" . .
xt+k
33