MANUEL
DE CALCUL NUMÉRIQUE APPLIQUE
1.1. Présentation de la méthode
Considérons une suite numérique S,(O), S’$a), SP) . , S$” dont la convergence est lente. À partir
de la suite des S(o), on forme une nouvelle suite Sj” obtenue de la manière suivante :
s(l) = &pj2 -
$0)
lct2 - s&] 2
k
s(O) + s,, - 2sg1 .
k
À partir de la dernière suite formée, celle des S(1), on obtient une autre suite au moyen du
même procédé. On note qu’à chaque construction d’une nouvelle suite, le nombre d’éléments
de la suite diminue de deux unités. L’application successive de ce processus nous conduit à
l’obtention de la suite qui n’est plus constituée que d’un seul terme à condition toutefois que le
nombre de termes de la suite initiale soit impair. Le terme général s’écrit alors :
s(“+l) - s(4)
k
-
k+2(2.1)
1.2. Un exemple numérique
On se propose d’appliquer cet algorithme à la suite des sommes partielles obtenue par la
sommation de la série :
qui est bien connue pour sa convergence lente. En retenant les cinq premiers termes de la suite
on trouve S = 0,834 920. L’usage de l’algorithme d’Aitken, avec les mêmes nombres, permet de
trouver S = 0,785 526. Autrement dit, l’erreur relative sur T passe de 6,3 10P2 à 5,l 10V4.
On trouvera sur le Web(*) un programme aitken0. c mettant en œuvre cet algorithme.
2. Le procédé d’extrapolation de Richardson (1881-1953)
On désigne toujours par S’(O) avec j = 0, 1,2. . TX, la suite initiale que l’on désire voir converger
plus rapidement, et par 2: une suite auxiliaire « choisie convenablement » Nous aborderons un
peu plus loin le problème du choix de la suite auxiliaire. La méthode de Richardson consiste à
former une suite de « vecteurs » au moyen de la relation suivante :
(2.2)
avec m, Ic = 0, 1,2,. . . n. La succession des opérations est symbolisée par le tableau 2.1, page
ci-contre.
Dans la mesure où les x, sont indépendants des Sg’, il est aisé de s’apercevoir qu’il s’agit
d’un algorithme en triangle et que S$+r) est une combinaison linéaire de SC;, et S, ,11 s’ensuit,
Remarque : Dans le cas particulier où l’on choisit comme suite auxiliaire la suite :
2 - &y1 - sp = a$‘,
m*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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DE CALCUL NUMÉRIQUE APPLIQUE
1.1. Présentation de la méthode
Considérons une suite numérique S,(O), S’$a), SP) . , S$” dont la convergence est lente. À partir
de la suite des S(o), on forme une nouvelle suite Sj” obtenue de la manière suivante :
s(l) = &pj2 -
$0)
lct2 - s&] 2
k
s(O) + s,, - 2sg1 .
k
À partir de la dernière suite formée, celle des S(1), on obtient une autre suite au moyen du
même procédé. On note qu’à chaque construction d’une nouvelle suite, le nombre d’éléments
de la suite diminue de deux unités. L’application successive de ce processus nous conduit à
l’obtention de la suite qui n’est plus constituée que d’un seul terme à condition toutefois que le
nombre de termes de la suite initiale soit impair. Le terme général s’écrit alors :
s(“+l) - s(4)
k
-
k+2(2.1)
1.2. Un exemple numérique
On se propose d’appliquer cet algorithme à la suite des sommes partielles obtenue par la
sommation de la série :
qui est bien connue pour sa convergence lente. En retenant les cinq premiers termes de la suite
on trouve S = 0,834 920. L’usage de l’algorithme d’Aitken, avec les mêmes nombres, permet de
trouver S = 0,785 526. Autrement dit, l’erreur relative sur T passe de 6,3 10P2 à 5,l 10V4.
On trouvera sur le Web(*) un programme aitken0. c mettant en œuvre cet algorithme.
2. Le procédé d’extrapolation de Richardson (1881-1953)
On désigne toujours par S’(O) avec j = 0, 1,2. . TX, la suite initiale que l’on désire voir converger
plus rapidement, et par 2: une suite auxiliaire « choisie convenablement » Nous aborderons un
peu plus loin le problème du choix de la suite auxiliaire. La méthode de Richardson consiste à
former une suite de « vecteurs » au moyen de la relation suivante :
(2.2)
avec m, Ic = 0, 1,2,. . . n. La succession des opérations est symbolisée par le tableau 2.1, page
ci-contre.
Dans la mesure où les x, sont indépendants des Sg’, il est aisé de s’apercevoir qu’il s’agit
d’un algorithme en triangle et que S$+r) est une combinaison linéaire de SC;, et S, ,11 s’ensuit,
Remarque : Dans le cas particulier où l’on choisit comme suite auxiliaire la suite :
2 - &y1 - sp = a$‘,
m*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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