23. S YSTÈMES À PLUSIECJR~
VARIABLES .~L&~T~Hw~
3. Variables aléatoires liées et indépendantes
Rcvcnons au cas de deux variables aléatoires X et Y. Le problème fondamental est dc savoir
quelle est la dépendance mutuelle des deux variables (ou l’absence de dépendance).
On dit que la variable aléatoire Y est indkpendante de la variable alkatoire X si la loi de
rkpartition de Y ne dépend pas de la valeur prise par X. Soit :
f(ylx) = ‘$(y) quel que soit 2.
En revanche, si Y dépend de X, on a :
f(~Ix) # $(Y) pour tout 2.
La dépendance de X et de Y est mie propriété mutuelle des deux variables. Autrement dit, si :
f(ylz) = $(y)
cela entraîne f(ziy) = d(z).
Dans ce dernier cas, on dit que les variables aléatoires sont indépendantes, car la loi de
répartition de chacune des variables ne dépend pas des valeurs prises par l’autre. Dans le cas
contraire on dit qu’elles sont dépendantes ou liées.
Quand X et Y sont des variables indépendantes, la fonction de rkpartition f(z, y), est le
produit des fonctions de repartition de chacune des variables X et Y ; soit encore :
f(T Y) = 4(x)+(Y).
Réciproquement, si f(z, y) est le produit de deux fonctions indépendantes C#I(Z) et $(y), alors
les variables aléatoires X et Y sont indépendantes et, cela constitue un critère pour juger de
l’indépendance des variables.
On peut dire que deux variables sont dependantes quand elles ont une tendance plus ou moins
marquée à varier simultanément.
4. Caractéristiques numériques, covariance, coefficient de corrélation
Par définition lc moment non centré d’ordre (k, s) du système de deux variables X et, Y est
l’espérance mathématique du produit ~?y’, et l’on écrit :
1*1k,,5 = ïbf[x”y”].
Le moment centré s’écrit :
en désignant par x0 et y0 les variables centrées :
xO=x-mlJ
Y0 = Y - mo.1.
On peut encore écrire :
rnk,,s = y ~X~y;r),j
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