22. LA LOIDUX~ ETLA LOIDE STUDENT
On donne sur le Web (*) 1 e sous-programme student . h qui calcule les valeurs de la distribution
de Student quel que soit le degré de liberté m.
6. La distribution d’une somme de deux variables aléatoires indépendantes
obéissant à une distribution de Student est-elle encore une distribution
de Student?
La réponse est non. Soit T = em + qn une variable aléatoire somme de deux variables aléatoires
indépendantes obéissant chacune à une distribution de Student respectivement à m et n degrés
de liberté. Soit (a(t) la fonction caractéristique de trn. Nous avons (en prenant la transformée
de Fourier réelle car la distribution de Student est symétrique) :
qt) = 2r l Km + 1) / 21 + c a
s cos( t y)
&r(m/2) o [l + y2](m+1)/2 dy
qt) = ,wm + 1)/21 1
Xfi
fir(m/2) ’ Z ’ r m + 1 Km’2(t)’
(
1
2
expression dans laquelle Km,2(2) est la fonction modifiée de Bessel de troisième espèce. La
fonction caractéristique de 7, s’écrit :
le produit des fonctions caractéristiques donne une fonction que l’on peut écrire d’une façon
simplifiée : A(m, n)K,,2(x)Kn,2(x). Malh eureusement, le produit de deux fonctions modifiées
de Bessel n’est ni une fonction modifiée de Bessel ni une somme de deux fonctions modifiées de
Bessel, il s’ensuit que la transformée de Fourier inverse n’est pas une distribution de Student.
7. La loi de Student à m degrés de liberté tend asymptotiquement
vers la loi de Gauss quand m tend vers l’infini
Comme la loi est symétrique, il suffira d’effectuer un développement de MacLaurin (au voisinage
de zéro). La densité de probabilité s’écrit :
rb + WI
29m(x) = fir(m/2) ’
[ 1
1 + 2’ (m+l)P ’
m
En passant aux logarithmes, on trouve :
m-l
m-l
(
>
m-l
m-l
log,(6,(x)) = Cste + 2 1% 2 - - 2
+ ;1og, -
(
>
2
- f loge(m)
m-2
m-2
2
(
>
m-2
m-2
- -log, 2 + 2 - ;1og, 2
(
>
m+l
- ~ log,
2
(
1
1,;