22. LA LOIDU x2 ETLA LOIDE STUDENT
4.1. Cas particulier no 1
Dans le cas où l’on peut écrire z = c&(y), alors on effectue un changement de variables très
intéressant à savoir :
2) = Q(y)
et
x = UV.
Le jacobien de la transformation s’écrit :
Ainsi, P,(o) devient :
a
+CC
P,(Q) = s
s
du
P~(U. v) .p, [W’(v)] # du = ] pt(u) du.
>
-cc
-ca
-00
Application au rapport de deux variables indépendantes - La variable Q est donc un rapport :
Q = XlY,
et l’on effectue le changement de variables :
y=v
et
y=u.v
dans ce cas, le jacobien de la transformation devient :
8(Xc,Y)
21 21
=v
-=
/
/
Lqu,v)
0
1
d’où :
C Y
+a
PT(a)
=
du
s
s
PE(U . v) P,(V)V du.
-CO
-00
Remarque importante - Il convient de prendre garde aux signes de la distribution au cas où
la variable q de distribution ~+(y) est définie sur (-oo, +03) :
II&4 = +j%d .P,(+ du - .ï PE(U.~) .P,(v)v du.
-cc
En effet une densité de probabilité ne peut pas être négative et, seule, dans ces expressions,
la variable u change de signe en franchissant la valeur zéro.
4.2. Cas particulier no 2
Dans le cas où l’on peut écrire z = Q : + Q(y), alors on effectue un changement de variables très
intéressant à savoir :
v = @(y)
et
x=u+w.
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