22. LA LOIDUX~ ET LA LOI DE STUDENT
2. Distribution d’une somme de deux variables aléatoires indépendantes
obéissant chacune à une distribution du xi
On considère une variable 0 qui est la somme de deux variables aléatoires indépendantes
obéissant à une loi du x2 l’une à n degrés de liberté, l’autre à m degrés de liberté :
La fonction caractéristique de 0 est donc :
alors, en faisant n = n + m dans les relations établissant la loi du xi dans le paragraphe
précédent, on en déduit :
+oO
A J’
p+"")/2-1
exp
exp(jtz) dz = (1 ~ 2jt) P(n+7n)/2
avec
1
A = 2(‘r”+“1)/2r[(n
+ m)/2] .
Il s’ensuit que la fonction de distribution s’écrit :
P(Y) = 2(“+,r4,21.;n + rrl),2] Y(“+“)‘2-1 -4) ((!J j
on en conclut que la distribution d’une somme de deux variables indépendantes obéissant
chacune à une distribution du x2 respectivement à n et m degrés de liberté est encore une
distribution du x2 mais à m + n degrés de liberté. Il est aisé de généraliser :
Théorème - Une variable qui est la somme de m variables aléatoires indépendantes obéissant
chacune à une distribution du x2 obéit encore une distribution du x2.
3. La loi du xk à m degrés de liberté tend asymptotiquement vers la loi
de Gauss quand m tend vers l’infini
Exprimons la loi du xz,, à m degrés de liberté en variable centrée reduite, en rappelant que
M[x] = m et D[z] = 2m (cr = 6) :
x-m
y= J%i’
on obtient :
Pm(YY) =
6
2”12r(m/2)
(Gy + m)mj2-1 exp
i
- 66; +m)
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