22 La loi du x2
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. - “‘ “-. et la loi de Student
L’étude des critères de conformité va nous conduire à étudier la distribution d’une somme des
carrés de n variables gaussiennes indépendantes (centrées réduites), il s’agit alors de la loi du
xi à n degrés de liberté.
Lorsqu’on aborde l’étude de la corrélation et de la régression, l’évaluation des intervalles de
confiance conduit inévitablement à l’étude de la distribution de Student qui est la distribution
d’une variable gaussienne (centrée réduite) divisée par la racine carrée de la moyenne d’un ~2
à m degrés de liberté, ces deux variables étant indépendantes.
Ce chapitre est donc destiné à la présentation desdites lois qu’il convient de bien manipuler
pour exploiter correctement les données expérimentales.
1. La loi du xi
Nous avons établi au précédent chapitre la loi de distribution d’une somme de n variables
gaussiennes centrées réduites, indépendantes, élevées au carré et nous nous proposons d’en
étudier les principales propriétés. Auparavant, nous allons effectuer quelques rappels concernant
la fonction I’(z) (fonction gamma ou fonction eulérienne de deuxième espèce) qui est étroitement
liée à la loi du xi :
r(m) = (m - l)!
lY(1/2) = fi
I?(n + 1/2) =
1 x 3 x 5 x . . (2n - 1)
2’”
fi
+CC
et : ryz) =
.I
P-l exp(-t) dt.
0
La densité de probabilité de la loi du xt à n degrés de liberté est donnée par l’expression :
1
pn(z) = 2n/2r(np)
&2-1 exp -z
(
>
2
pour z E (O,+ca),
tandis que la loi de répartition s’écrit :
1
x
n/2-1
Ln(z) = 2n/2r(n/2)
J
y
exp -y
(
>
2 dy
pour 2 E (0, +co).
0
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