21 1 La fonction caractéristique
Certaines opérations mathématiques sont plus commodes à réaliser dans l’espace réciproque de
Fourier que dans l’espace direct (propriétés des espaces duals). En théorie des probabilités, il
peut être plus simple de traiter ou bien de la fonction de distribution ou bien de la fonction
caractéristique. Cela dit, il ne faut pas fonder trop d’espoir sur cette conception, c’est une
technique parmi d’autres techniques. En effet, on se persuade des limitations pratiques de cette
méthode en consultant une table d’intégrales de Fourier : il y a peu de cas de figures. Quoi qu’il
soit, la méthode offre un indiscutable intérêt tant théorique que pratique, aussi allons-nous y
consacrer un chapitre.
1. Définition et propriétés
Soit < une variable aléatoire, la fonction caractéristique est donnée par l’expression :
Q(t) = M[exp(jtz)]
où M[ ] est l’opérateur moyenne.
Si la variable aléatoire est discrète (k entier appartenant (-00; +co)), on écrit :
Q(t) = E p(k) exp(jtk).
Il ne s’agit simplement que du développement en série de Fourier de la probabilite. Q(t) est
une fonction périodique de période unité.
Si la variable aléatoire est continue sur un intervalle fini ou infini, et si l’on désigne par p(z)
la densité de probabilité, on écrit :
CD( t ) = .I
p(z) exp(jtz) dz.
Il s’agit de la transformée de Fourier de la densité de probabilité.
En général, on peut écrire la transformation inverse :
s Q( t ) exp(-jtz) dt.
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