20. LA LOIBINOMIALE, LA LOI DE POISSON ET LA LOI DE GAUSS-LAPLACE
L’intégration par parties permet d’écrire :
+CO
mq = Kp J
tq-‘t exp(-t2) dt
-03
1
+a>
+CC
= Kq
[{
- ;P exp( -t2)
+rl-1
~
2
J
tqp2 exp(-t2) dt ;
-cc
-cc
1
donc : mq =
(q - wwqq +co
2fi
J
tqp2 exp(-t2) dt.
-03
Si l’on remarque que :
mq-2 = (afi)q-2 +mfJ-‘eXp(-t”) &
fi J
on trouve en définitive :
mq = (q - 1)02mq-2.
Comme on connaît les deux premiers moments centrés me = 1 et mr = 0, il est aisé de former
la suite des moments centrés :
m2 = a2,
m4 = 3c4,
m6 = 1506,
tous les moments centrés d’ordre impair étant nuls.
d - La dissymétrie - Elle est donnée par l’expression :
L’étalon étant la courbe de Gauss-Laplace, 6 = 0 pour cette dernière.
e - L ‘aplatissement - Il est donné par une expression qui est telle que la loi de Gauss-Laplace
ait un aplatissement nul :
f - Fonction de répartition de la loi normale - Il s’agit de calculer la probabilité de trouver
une variable J: dans l’intervalle (a, b), sachant que sa distribution obéit à une loi gaussienne :
P(u < x < b) = Q(b) - @(a) = ~ g& ]exp (-‘” iJj2) dt.
a
319