20. LA ~01 BINOLW~LE, LA LOI DE POISSON ET LA LOI DE CAUSS-L.~PLACE
d’où le développement en série de Taylor :
il s’ensuit que :
ou encore, si k devient une variable akatoire continue, la probabilité élémentaire dP = p(z) dz
que la variable zc soit comprise dans l’intervalle (2, z + dz). est donnée par l’expression :
p(x) dz = P,,l,x exp
(k - ml)2
~
2s
dz.
La probabilité pour que la variable 2 soit plus petite que la valeur X s’écrit :
X
P(x < X) = pmax
J
(
exp ~
(cc ~ m1)2
2s
1
dz,t.f
-00
Il reste à normer la distribution :
+oO
+m
1=
Pk dk = P,,,,
-x
-x
(k-m)2
2s
dk = d%P,,rax.
De là on tire :
En définitive, on obtient :
1
Pk = ~
a&G
(k - ml)”
202
>
pour lc cas discret, et
pour le cas continu.
Cette loi joue un rôle privilkgié dans la mesure où dc nombreuses distributions admettent la
distribution de Gauss-Laplace comme loi asymptotique.
3.1. Propriétés essentielles de la loi de Gauss-Laplace
La loi est normalisée puisque nous venons de faire en sorte qu’il en soit ainsi.
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