MANUEL DE CALCUL NUMÉRIQUE APPLIQUÉ
Le calcul de X s’effectue sur cinq minutes, on trouve alors :
Il s’ensuit que :
R 1
= exp(-10)1012
12!
= 9,48 10p2 ;
R2 = 1 - P. = 1 ~ exp( -10) = 0,999 954 6 :
R3 = 1 - P. - PI - PJ - pi3 ~ P4 ~ F’, ~ Pc, ;
&=l-exp(-10) lO+~+$+~+$+$
1
=0,86990.
3. Loi de Gauss-Laplace
Il nous faut rechercher la valeur asymptotiquc dc Pk lorsque n devient infiniment grand. C’est
la formule de Stirling qui va nous permettre de développer les factorielles, donc la fonction à
laquelle nous allons nous intéresser est log,(Pk). Il y a alors deux façons de parvenir a nos fins.
On développe log,(Pk) au deuxième ordre cc qui conduit à des longs calculs un peu fastidieux.
Il est alors ncccssaire d’user de la formule de Stirling très complète :
n! = rP cxp(-n)JG(l + &7L)
1
avec
n=,, + 12
Un second procédé, moins rigoureux mais plus simple, consiste à choisir le maximum de
log,(Pk) comme point autour duquel on effectue le dSveloppcment cn strie de Taylor, ce
qui a pour but de faire disparaître la dérivk prcmièrc dudit dcvcloppement. Dans cc cas.
l’approximation :
log,:(n!) E n!log,(n) ~ n
sera suffisante. C’est cette méthode que nous présentons. On part donc de la relation :
log,(Pk) = nlog,(n) - n - klog,(k) + k - (n - k) log,(n - k)
+ (n - k) + klog,(p) + (n- k)log,(q).
À présent, on cherche le maximum de cette expression, il est donné par :
4 log,(Pk) = 0 = ~ log,(k) - 1 + 1 + 10gr:(n ~ k) + 1 ~ 1 + log,
0
f ,
on obtient alors :
(n - k)p = kq,
d’ou :
lc = np.
C’est la valeur la plus probable, mais on a déjà vu que c’était aussi la rnoyenne ml de la loi
binomiale. Calculons maintenant la dérivée deuxième :
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