20. LA LOI BINOMIALE. LA LOI DE POISSON ET LA LOI DE GAUSS-LAPLACE
On définit alors un processus de Poisson de la manière suivante :
1. nk (7) ne dépend que de 7 et non de l’origine des temps 70.
2. Durant un intervalle de temps infiniment petit dr, la probabilité d’apparition d’un événement
E est proportionnelle à d-r, et l’on désigne par dri(d-r) = T dr cette probabilité.
3. La probabilité de voir apparaître deux événements ou plus dans l’intervalle de temps
infiniment petit dr est infiniment petite par rapport à dr.
4. Si 71 et r2 sont des intervalles de temps sans intersection commune, alors les probabilités
Tu et Tu sont indépendantes.
Compte tenu de ces conditions, la probabilité de n’observer aucun événement durant le temps
infiniment petit dr est :
d7ro( dr) = 1 - T dr.
À présent, on se propose de trouver la loi de distribution rk(r) de la variable aléatoire X,
c’est-à-dire la probabilité d’obtenir exactement k événements durant l’intervalle de temps fini T.
Découpons l’intervalle de temps T en n sous-intervalles égaux de telle sorte que Ar = $ soit
de l’ordre de dr.
La probabilité d’observer un événement dans chaque intervalle est donc rAr et la probabilité
de n’en observer aucun est 1 -rAr. Comme les événements sont indépendants dans les intervalles
de temps disjoints de longueur A T, on peut considérer les n intervalles élémentaires comme n
expériences indépendantes pour chacune desquelles un intervalle élémentaire a la probabilité rAr
de voir apparaître effectivement un événement. La probabilité pour que k des n sous-intervalles
aient vu se réaliser un événement est par conséquent donnée par la loi binomiale :
7rk(T) = c; (;)k (1- z>“ç
On pose a = TT-, on obtient alors :
Ki TI , = ci (!t)” (l- yk.
Il nous reste à étudier le comportement de Tk(r) quand n tend vers l’infini. Pour cela, il suffit
de reprendre le calcul déjà effectué lors de l’établissement de la loi de Poisson, et avec la même
technique, on trouve :
akeëa
~.
nk = )y
Donc, la variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre a.
Remarque : Au lieu de considérer le temps T, il est possible de s’intéresser à une distribution
de points sur la droite ou dans le plan qui obéiraient aux mêmes propriétés que celles qui ont
été définies à propos du temps. Il en est de même des points répartis dans l’espace.
d - Application de la loi de Poisson - Une petite route de campagne est fréquentée par 120
voitures par heure en moyenne.
1. Calculer la probabilité RI pour que la route soit fréquentée douze fois en cinq minutes.
:
2. Calculer la probabilité Rz pour que la route soit fréquentée au moins une fois en cinq minutes.
3. Calculer la probabilité R3 pour que la route soit fréquentée au moins sept fois en cinq minutes.
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On définit alors un processus de Poisson de la manière suivante :
1. nk (7) ne dépend que de 7 et non de l’origine des temps 70.
2. Durant un intervalle de temps infiniment petit dr, la probabilité d’apparition d’un événement
E est proportionnelle à d-r, et l’on désigne par dri(d-r) = T dr cette probabilité.
3. La probabilité de voir apparaître deux événements ou plus dans l’intervalle de temps
infiniment petit dr est infiniment petite par rapport à dr.
4. Si 71 et r2 sont des intervalles de temps sans intersection commune, alors les probabilités
Tu et Tu sont indépendantes.
Compte tenu de ces conditions, la probabilité de n’observer aucun événement durant le temps
infiniment petit dr est :
d7ro( dr) = 1 - T dr.
À présent, on se propose de trouver la loi de distribution rk(r) de la variable aléatoire X,
c’est-à-dire la probabilité d’obtenir exactement k événements durant l’intervalle de temps fini T.
Découpons l’intervalle de temps T en n sous-intervalles égaux de telle sorte que Ar = $ soit
de l’ordre de dr.
La probabilité d’observer un événement dans chaque intervalle est donc rAr et la probabilité
de n’en observer aucun est 1 -rAr. Comme les événements sont indépendants dans les intervalles
de temps disjoints de longueur A T, on peut considérer les n intervalles élémentaires comme n
expériences indépendantes pour chacune desquelles un intervalle élémentaire a la probabilité rAr
de voir apparaître effectivement un événement. La probabilité pour que k des n sous-intervalles
aient vu se réaliser un événement est par conséquent donnée par la loi binomiale :
7rk(T) = c; (;)k (1- z>“ç
On pose a = TT-, on obtient alors :
Ki TI , = ci (!t)” (l- yk.
Il nous reste à étudier le comportement de Tk(r) quand n tend vers l’infini. Pour cela, il suffit
de reprendre le calcul déjà effectué lors de l’établissement de la loi de Poisson, et avec la même
technique, on trouve :
akeëa
~.
nk = )y
Donc, la variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre a.
Remarque : Au lieu de considérer le temps T, il est possible de s’intéresser à une distribution
de points sur la droite ou dans le plan qui obéiraient aux mêmes propriétés que celles qui ont
été définies à propos du temps. Il en est de même des points répartis dans l’espace.
d - Application de la loi de Poisson - Une petite route de campagne est fréquentée par 120
voitures par heure en moyenne.
1. Calculer la probabilité RI pour que la route soit fréquentée douze fois en cinq minutes.
:
2. Calculer la probabilité Rz pour que la route soit fréquentée au moins une fois en cinq minutes.
3. Calculer la probabilité R3 pour que la route soit fréquentée au moins sept fois en cinq minutes.
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