20. LA LOI BINOMIALE, LA LOI DE POISSON ET LA LOI DE GAUSS-LAPLACE
2. Loi de Poisson
Nous envisageons lc cas où p (ou 4) est très petit, devant l’unité et où n est très grand sans
toutefois l’?tre suffisamment pour que l’on retrouve directement la loi normale, le produit p
doit être de l’ordre de grandeur de l’unité. Reprenons l’expression dc Pk :
n,!
pk = /qn - k)!P
k
q
n-k = n(n ~ l)(n - 2). . (n - k + 1) l &
k!(l -p)”
P (1 -PI”>
soit encore :
p, = w(,w - P) (n,p ~ 223) . (~LP ~ kp + P)
k
k!(l ~ p)"
(1 ~ PlrL,
ou bien :
p,x np(n,p~p)(np-2p)...(np-~p+1ï)
k
k!(l - p)k
(l- !Tfy .
Posons X = np, il vient :
P = X(X-p)(L2p)...(X--kp+p)
k
/C!(l - p)"
(
1
1-x
rr,
7-L
Comme X = n,p est de l’ordre de l’unité, il est grand devant p qui lui-même est, petit devant
l’unité ; ainsi le numérateur du second membre tend vers Xk et (1 - p) k tend vers un. Il s’ensuit
que, puisque n est grand devant k, nous pouvons écrire :
Or (1 ~ i) ” t,cnd vers exp(-X) quand n tend vers l’infini (résultat classique d’analyse). D’où
l’expression de la loi de Poisson :
Pk = ; cxp(-A).
La loi de Poisson dorme la distribution d’une variable aléatoire discrète qui peut prendre les
valeurs entières non négatives (0, 1,2,. ,n, . ).
On dit que la variable X est répartie selon la loi de Poisson si sa probabilité est donnée par
l’expression de Pk, quel que soit le paramètre X.
2.1. Propriétés essentielles de la loi de Poisson
Ayant effectué un certain nombre d’opérations sur la loi binomiale, il est indispensable de vhifier
que la loi de dist,ribution proposke est bien normalis~c, c’est-à-dire : xr=, Pk = 1. En effet :
exp(-X) = exp(-X) 2 4T = exp(-X) exp(+X) = 1.
k=O ‘!
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