MANIJEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
c’est aussi le terme de rang k du dheloppernent du binôme de Newton :
(p + y)” = $1 + npp + . + cp-kpk + .p”,
Calcul des moments
On écrit lc binôrne sous la forme légkrement
modifiée :
a(t) = (y +pt)n = CPkP.
k=O
on Q(t) s’appelle la fonction génératrice des moments ; elle constihe un art,ific:c commode pour
effectuer le calcul des caractCrist,iques de position. Le moment d’ordre zéro s’écrit en fonction
de Q(t) de la manière suivante :
Q(1) = 2 Pk.
k=O
Si l’on dérive les deux membres
donnant a(t) par rapport à t, on obtient :
a’(t) = np(q + pty = 2 kP&‘.
k=O
En faisant t = 1, on trouve :
CD’(l) = np = CkPk = M(X) = ml,
k=O
c’est-à-dire le mornent d’ordre un.
Les dérivations successives dorment des expressions fournissant tous les moments successifs
après avoir fait t = 1. Seul le deuxième moment va retenir notre attention :
Faisons t = 1 :
Q”(l) = n(n ~ l)p2 = n7,2 - rjXl.
De là ou déduit :
m2 = n(n - l)p2 + np = npq + n2p2
Or le moment centré d’ordre deux s’écrit :
~2 = m2 ~ mf = npq,
l’écart type a pour expression : (T = m.
Il s’agit là des deux résultats essentiels de la loi binomiale ; et comme on va lc voir. seuls ces
deux premiers moments figurent dans la loi de Gauss-Laplace. Avant d’entreprendre l’étude de
cette loi, étudions la loi dc Poisson qui, elle aussi, est une loi asymptotique de la loi binomiale
avant d’admettre elle-même la loi de Gauss-Laplace pour asymptote.
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