20 La loi binomiale,
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et la loi de Gauss-Laplace
Les fondements de la statistique reposent sur la connaissance fine de quelques lois de distribution
dont la principale est la loi de Gauss-Laplace. Cette dernière découle directement de l’étude de la
loi binomiale : elle en exprime alors le comportement asymptotique lorsque le nombre d’épreuves
devient extrêmement grand (supérieur à 100 pour fixer les idées), autrement dit, on effectue un
passage de la variable discrète à la variable continue.
Dans le cas où la probabilité dans la loi binomiale est très petite devant l’unité, sans pour
autant que le nombre d’épreuves soit très grand ~ le produit X de ces deux nombres est proche de
l’unité - on débouche sur la loi de Poisson. Celle-ci admet naturellement la loi de Gauss-Laplace
comme loi asymptotique dans le cas où le nombre d’épreuves devient très grand, X étant très
nettement plus grand que l’unité. Cette loi est utilisée lors de l’étude des «événements rares »
qui sont, par exemple, les phénomènes observés par les compagnies d’assurance (sinistres) ; elle
entre aussi pour une part active dans l’étude des files d’attente et de la fiabilité.
1. La loi binomiale, schéma de Bernoulli
On effectue une série d’épreuves qui donnent lieu chacune à une éventualité parmi deux
éventualités, chacune des éventualités ayant une probabilité constante.
Par exemple, on considère une urne qui contient P boules blanches et Q boules noires. On
tire une boule, on note sa couleur, puis on la remet dans l’urne et ainsi de suite. Nous avons
alors effectué des tirages non exhaustifs dans une urne à deux catégories, on dit aussi tirages
avec remise dans une urne à deux catégories, c’est ce qu’on désigne par schéma de Bernoulli.
Choisissons comme éventualité favorable le tirage d’une boule blanche dont la probabilité est
p. On réalise n épreuves consécutives. On note d’abord que les tirages sont indépendants les
uns des autres. La probabilité pour que k d’entre eux soient favorables, donc (n - k) soient
défavorables est donc :
1. pkqn-” si l’on spécifie l’ordre dans lequel les cas favorables et défavorables doivent se succéder ;
2. CLpkq”-” si l’ordre n’a pas d’importance.
C’est cette seconde forme qui va faire l’objet de notre attention. Ainsi la probabilité est donnée
par l’expression :
n!
k n-k
pk = k!(n - k)!P ’
’
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1 a 10 i d e po i s SO n
et la loi de Gauss-Laplace
Les fondements de la statistique reposent sur la connaissance fine de quelques lois de distribution
dont la principale est la loi de Gauss-Laplace. Cette dernière découle directement de l’étude de la
loi binomiale : elle en exprime alors le comportement asymptotique lorsque le nombre d’épreuves
devient extrêmement grand (supérieur à 100 pour fixer les idées), autrement dit, on effectue un
passage de la variable discrète à la variable continue.
Dans le cas où la probabilité dans la loi binomiale est très petite devant l’unité, sans pour
autant que le nombre d’épreuves soit très grand ~ le produit X de ces deux nombres est proche de
l’unité - on débouche sur la loi de Poisson. Celle-ci admet naturellement la loi de Gauss-Laplace
comme loi asymptotique dans le cas où le nombre d’épreuves devient très grand, X étant très
nettement plus grand que l’unité. Cette loi est utilisée lors de l’étude des «événements rares »
qui sont, par exemple, les phénomènes observés par les compagnies d’assurance (sinistres) ; elle
entre aussi pour une part active dans l’étude des files d’attente et de la fiabilité.
1. La loi binomiale, schéma de Bernoulli
On effectue une série d’épreuves qui donnent lieu chacune à une éventualité parmi deux
éventualités, chacune des éventualités ayant une probabilité constante.
Par exemple, on considère une urne qui contient P boules blanches et Q boules noires. On
tire une boule, on note sa couleur, puis on la remet dans l’urne et ainsi de suite. Nous avons
alors effectué des tirages non exhaustifs dans une urne à deux catégories, on dit aussi tirages
avec remise dans une urne à deux catégories, c’est ce qu’on désigne par schéma de Bernoulli.
Choisissons comme éventualité favorable le tirage d’une boule blanche dont la probabilité est
p. On réalise n épreuves consécutives. On note d’abord que les tirages sont indépendants les
uns des autres. La probabilité pour que k d’entre eux soient favorables, donc (n - k) soient
défavorables est donc :
1. pkqn-” si l’on spécifie l’ordre dans lequel les cas favorables et défavorables doivent se succéder ;
2. CLpkq”-” si l’ordre n’a pas d’importance.
C’est cette seconde forme qui va faire l’objet de notre attention. Ainsi la probabilité est donnée
par l’expression :
n!
k n-k
pk = k!(n - k)!P ’
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