19. É LÉMENTS DE CALCUL DES PR~B.~BII,ITÉS
7. Le théorème de Bernoulli
On se propose donc d’étudier la convergence en probabilite de la moyenne empirique u/n, vers
la moycnnc théorique p. On verra au chapitre 20 que des considérations sur la loi binomiale
donnent les résultats suivants :
D ! xi!!!
0
avec ~+y= 1.
n
n
On utilise l’inégalité de Bienaymé-Tchebycheff en posant :
t z& Y ?
c
avec E > 0
arbitraire.
P9
D’où
Soit S un nombre positif tel que n > &. n croissant autant que l’on veut, fi sera aussi petit
que l’on veut, et l’on aura :
En définitive, la probabilité pour que la fréquence v/n diffère de sa valeur moyenne
d’une
quantiti: dont le module est au moins égal à E, tend vers zéro quand n tend vers l’infini quel que
soit E > 0. Il s’agit, rappelons-le, dc la convergence en probabilité.
8. Éléments de bibliographie
J. BERTRAND, Calcul des probabilités, Chelsea, New-York fac-similé de l’édition francaise de
1907.
E. B~REL, R. DELTEIL et R. HURON (1962) Probabilités, Erreurs, Armand Colin, Paris, 12e
édition.
P. JAFFARD (1996) Initiation aux méthodes de la statistique et du calcul des probabilités, Masson.
H. VENTSEL (1973) Théorie des probabilités, Éditions MIR, Moscou.
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