MANUEL DE CALCUL NUMÉ RIQUE APPLIQUÉ
6. L’inégalité de Bienaymé (1796-1878) - Tchebycheff
On considère une variable aléatoire X de moyenne m et d’kart type g. Par ailleurs, on se donne
une valeur t > 0 arbitraire et l’on se propose de calculer la probabilité P que le module de la
variable (X ~ ni) soit supérieur à t fois la grandeur 0. On recherche donc P( iX - m > to).
Sur la droite 0x, on porte le point M d’abscisse m, lc point A d’abscisse (m -ta) et le point
B d’abscisse (VI + ta). Sur Oy on porte la densité de probabilité (cf. Fig. 19.1).
En d’autres terrnes, la probabilité cherchec est celle pour laquelle X n’appartient pas au
segment Al?. Écrivons D(X) = o2 :
On peut encore écrire la décomposition suivante :
02 Z Z Z
C+C+C
XE(W,B) Xt(A,W
XE(A-oc)
ou encore
i= j+f+T;
-00
A
B
quelle que soit l’expression, on peut écrire :
~T~=A+L?+C
d’où
CT’ > A + C.
Par ailleurs. hors lc segrnent AB :
(xz ~ rn)2 > t”a”
et l’on peut écrire que :
4 + c > t2a2 c’pi:
avec C’p7 signifiant que la sommation porte sur les valeurs extericures au segment AB. blaia
c’est, aussi la probabilité recherchée que l’on désigne par P. En définitive, on obtient :
u2 2 pt2a2
soit
PL&
En conclusion; on voit que la probabiliti: d’un écart supkrieur à ta décroît comme lit*. et
cela quelle que soit la loi de distribution. Cette inégalité de Bicnaymé-Tchebychcff trouve une
belle application dans la demonstration du théorème
de Bernoulli.
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