19. ÉLÉMENTS DE CALCUL DES PR~B.~BILITÉS
5.4. Les caractéristiques de position
a - La valeur moyenne - Encore appelée espérance mathématique d’une variable aléatoire.
Elle est définie ainsi :
M(X) = CPkXk
+nO
ou M(X) = s X~( X) dx
k=l
-cc
selon que la variable est discrète ou continue. Comme on le verra plus loin c’est aussi le moment
non centré du premier ordre.
b - Le mode - C’est la valeur la plus probable de la variable aléatoire, soit encore le maximum
de la densité de probabilité dans le cas l’une répartition unimodale d’une variable aléatoire
continue.
c - La médiane - C’est la valeur m, de la variable aléatoire telle que :
P(X < m,) = P(X > m,) = 0,5.
5.5. Les moments
Par définition, on appelle moments non centrés d’ordre k l’espérance mathématique de la variable
X”. On écrit alors :
mk(X) = M[X”] = Cpi~: OU
+cO
= ./' X”~(X) dz.
i=l
-03
Il s’agit de moments tout a fait semblables à ceux de la mécanique, en assimilant pi à un
poids ou f(x) a une densité massique (volumique, surfacique, linéique).
Il est plus utile de définir les moments centrés d’ordre k de la variable aléatoire centrée X*.
Par définition, la variable aléatoire centrée X* est la variable aléatoire X qui a subi un décalage
3 d’origine égal à son espérance mathématique ml :
X” =X-ml.
Les moments centrés s’écrivent :
pk = mk(X*)
= M[X*k]
= cp,(Xi - ml)”
OU
2=1
= s(x - ml)kf(x) dz.
-02
On vérifie sans peine que le moment centré d’ordre 1 est nul : ,UI = 0. Le moment centré
d’ordre deux s’appelle variante D(X) = ~2, c’est l’espérance mathématique du carré de la
variable centrée. Cette grandeur est attachée à la mesure de la dispersion, et l’on appelle écart
quadratique moyen ou écart type la quantité g(X) = Jo(x).
Le moment d’ordre 3, ~3, caractérise l’asymétrie tandis que p4 caractérise l’aplatissement.
Ces deux dernières grandeurs permettent de comparer une loi de distribution donnée à la loi
normale (Gauss-Laplace).
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