.bfANUEL DE CALCUL NUMÉRIQUE APPLIQUlt
4.5. Formule des probabilités totales
Il s’agit dc calculer la probabilitc d’un évcnement A pouvant avoir lieu simultanément avec l’un
des evénemcnts Hi ~ Hz, . , H,, lesquels forment un système complet d’evénements incompat,ihles, on obtient :
P ( A ) = 2 P(H;)P(A,HJ.
7=1
4.6. Formule de Bayes (1702-1761) (théorème des causes ou des antécédents)
Envisageons à prcsrnt que l’événement A se produise obligatoirement,
avec l’un des événements
HI, Hz, . . . H, qui sont antérieurs à l’tvcnemrnt A et qui constituent 1111 @@me complet
d’évencments incompatibles. L’ensemble des événements {Hk} peut être considéri: comme la
«cause » de A. Le mot cause tient tt la formulation historique ct non 5, sa nature philosophique,
et J. Bertrand dit à cc su.jet : « Les causes sont pour nous des accidents qui ont accompagné ou
précédé un événement
observi: ». C’est pourquoi. il serait plus raisonnable de parler d’antécédent
que de cause, cependant; par respect dc la tradition nous utilisons le mot cause.
Le problème que l’on pose alors est le suivant, : sachant que A s’est produit,, quelle est
la probahilit,é pour que ce soit précisement la cause Hi qui 1”ait produit ? On suppose que
l’on connaît les probabilités d’intervention de chaque cause Hk. A priori ces probabilités sont
conmies. et on cherche a posteriori la probabilité sachant que l’événement A s’est effectivement
réalisé.
Donnons un exemple d’après .J. Bertrand. Un joueur prend le pari d’amener avec deux dés un
point supérieur à 10. L’événement A est : il a gagné. Ceci peut, être réalisc en amenant le 11 et
lc 12 : telles sont les causes de succès.
Avant l’expérience, les probabilités des causes sont P(H,); P(Hz), . . , P(H,). Comment ces
probabilités se trouvent-elles rnodifiées par la réalisation de l’événement A? Il nous faut donc
trouver P(Hk/A) pour chaque cause.
La démonstration est sirnplc. nous pouvons ccrire :
~(HI, A) = P(A HE;) = P(A)P(Hk/A) = P(Hk)P(A/Hk)
pour k = 1: 2,. . , n,
soit encore en tenant compte dc la derniere @alit@ :
P(Hk/A) =
P(H.A-P(A/H~) ;
P(A)
enfin. en utilisant la formule des probabilités totales, on obtient :
P(Hk)P(A/Hk)
P(HdA)
=
n
Exemple - Deux étudiants passent l’examen de MPA. Le premier a la Probabilit>é
pi = O:7
d’obtenir l’examen, le second la probabilité ~2 = 0,6. Un étudiant a été reçu. Trouver la
probabilité que ce soit le premier.
A priori, on retient les causes (antccédents) suivantes :
Hi : aucun étudiant n’est reçu ;
Hz : les deux Cttudiants sont recus ;
HC3 : seul le premier Ctudiant est reçu;
H4 : seul le second étudiant est rec;u.
304
4.5. Formule des probabilités totales
Il s’agit dc calculer la probabilitc d’un évcnement A pouvant avoir lieu simultanément avec l’un
des evénemcnts Hi ~ Hz, . , H,, lesquels forment un système complet d’evénements incompat,ihles, on obtient :
P ( A ) = 2 P(H;)P(A,HJ.
7=1
4.6. Formule de Bayes (1702-1761) (théorème des causes ou des antécédents)
Envisageons à prcsrnt que l’événement A se produise obligatoirement,
avec l’un des événements
HI, Hz, . . . H, qui sont antérieurs à l’tvcnemrnt A et qui constituent 1111 @@me complet
d’évencments incompatibles. L’ensemble des événements {Hk} peut être considéri: comme la
«cause » de A. Le mot cause tient tt la formulation historique ct non 5, sa nature philosophique,
et J. Bertrand dit à cc su.jet : « Les causes sont pour nous des accidents qui ont accompagné ou
précédé un événement
observi: ». C’est pourquoi. il serait plus raisonnable de parler d’antécédent
que de cause, cependant; par respect dc la tradition nous utilisons le mot cause.
Le problème que l’on pose alors est le suivant, : sachant que A s’est produit,, quelle est
la probahilit,é pour que ce soit précisement la cause Hi qui 1”ait produit ? On suppose que
l’on connaît les probabilités d’intervention de chaque cause Hk. A priori ces probabilités sont
conmies. et on cherche a posteriori la probabilité sachant que l’événement A s’est effectivement
réalisé.
Donnons un exemple d’après .J. Bertrand. Un joueur prend le pari d’amener avec deux dés un
point supérieur à 10. L’événement A est : il a gagné. Ceci peut, être réalisc en amenant le 11 et
lc 12 : telles sont les causes de succès.
Avant l’expérience, les probabilités des causes sont P(H,); P(Hz), . . , P(H,). Comment ces
probabilités se trouvent-elles rnodifiées par la réalisation de l’événement A? Il nous faut donc
trouver P(Hk/A) pour chaque cause.
La démonstration est sirnplc. nous pouvons ccrire :
~(HI, A) = P(A HE;) = P(A)P(Hk/A) = P(Hk)P(A/Hk)
pour k = 1: 2,. . , n,
soit encore en tenant compte dc la derniere @alit@ :
P(Hk/A) =
P(H.A-P(A/H~) ;
P(A)
enfin. en utilisant la formule des probabilités totales, on obtient :
P(Hk)P(A/Hk)
P(HdA)
=
n
Exemple - Deux étudiants passent l’examen de MPA. Le premier a la Probabilit>é
pi = O:7
d’obtenir l’examen, le second la probabilité ~2 = 0,6. Un étudiant a été reçu. Trouver la
probabilité que ce soit le premier.
A priori, on retient les causes (antccédents) suivantes :
Hi : aucun étudiant n’est reçu ;
Hz : les deux Cttudiants sont recus ;
HC3 : seul le premier Ctudiant est reçu;
H4 : seul le second étudiant est rec;u.
304