19. ÉLÉMENTS DE CALCUL DES PROBABILITÉS
4.3. Théorème des probabilités totales
La probabilité de réaliser l’événement E constitué par la somme des événements incompatibles
A et B est égale à la somme des probabilités de ces événements; on notera :
P(E) = P(A + B) = P(A) + P(B) ;
s’ensuivent deux corollaires pratiquement évidents :
a - Corollaire 1 - Si les événements Al, AL, . . , A, forment un système complet d’événements
incompatibles, la somme de leurs probabilités est égale à l’unité, soit :
c P(AZ) = 1.
i=l
b - Corollaire 2 - La somme des probabilités d’un événement et de son contraire est égale à
un.
4.4. Théorème des probabilités composées
La probabilité du produit E de deux événements est égale au produit de la probabilité de l’un
d’eux et de la probabilité conditionnelle du second, calculée sous la condition que le premier ait
lieu :
P(E) = P(A . B) = P(A). P(B/A).
Commentons cette proposition. Rappelons que deux événements sont indépendants, si la
probabilité de A ne dépend pas de la réalisation de B, sinon, ils sont dépendants. Prenons un
exemple : une urne contient deux boules blanches et une boule noire. On considère les événements
suivants :
L’événement A : la première boule tirée est blanche.
L’événement B : la deuxième boule tirée est blanche.
On réalise l’expérience suivante : on tire une première boule que l’on place dans la boîte no 1
sans en prendre connaissance, puis on tire la seconde boule que l’on place dans la boîte no 2 sans
en prendre connaissance. À présent, on peut prendre éventuellement connaissance de la boule
contenue dans la boîte no 2, en ignorant le contenu de la boîte no 1.
La probabilité de tirer une boule blanche, dans le cas de l’événement A, ne connaissant pas
l’événement B, est P(A) = 2/3. En revanche, si l’on sait que l’événement B s’est réalisé, alors
la probabilité est P(A) = 1/2.
On appelle probabilité conditionnelle de A relative à B, et l’on note P(A/B) la probabilité
de A calculée sachant que B s’est réalisé. On rencontre aussi d’autres façons d’écrire : P(AIB)
et P(A si B). La notation devient alors :
P(A) = 2/3
et P(A/B) = 1/2.
Dans le cas où A est indépendant de B, on a : P(A/B) = P(A) Il s’ensuit les corollaires
suivants :
a - Théorème - La probabilité de deux événements indépendants est égale au produit des
probabilités de ces deux événements.
b - Théorème - Si A est indépendant de B, alors B est indépendant de A.
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4.3. Théorème des probabilités totales
La probabilité de réaliser l’événement E constitué par la somme des événements incompatibles
A et B est égale à la somme des probabilités de ces événements; on notera :
P(E) = P(A + B) = P(A) + P(B) ;
s’ensuivent deux corollaires pratiquement évidents :
a - Corollaire 1 - Si les événements Al, AL, . . , A, forment un système complet d’événements
incompatibles, la somme de leurs probabilités est égale à l’unité, soit :
c P(AZ) = 1.
i=l
b - Corollaire 2 - La somme des probabilités d’un événement et de son contraire est égale à
un.
4.4. Théorème des probabilités composées
La probabilité du produit E de deux événements est égale au produit de la probabilité de l’un
d’eux et de la probabilité conditionnelle du second, calculée sous la condition que le premier ait
lieu :
P(E) = P(A . B) = P(A). P(B/A).
Commentons cette proposition. Rappelons que deux événements sont indépendants, si la
probabilité de A ne dépend pas de la réalisation de B, sinon, ils sont dépendants. Prenons un
exemple : une urne contient deux boules blanches et une boule noire. On considère les événements
suivants :
L’événement A : la première boule tirée est blanche.
L’événement B : la deuxième boule tirée est blanche.
On réalise l’expérience suivante : on tire une première boule que l’on place dans la boîte no 1
sans en prendre connaissance, puis on tire la seconde boule que l’on place dans la boîte no 2 sans
en prendre connaissance. À présent, on peut prendre éventuellement connaissance de la boule
contenue dans la boîte no 2, en ignorant le contenu de la boîte no 1.
La probabilité de tirer une boule blanche, dans le cas de l’événement A, ne connaissant pas
l’événement B, est P(A) = 2/3. En revanche, si l’on sait que l’événement B s’est réalisé, alors
la probabilité est P(A) = 1/2.
On appelle probabilité conditionnelle de A relative à B, et l’on note P(A/B) la probabilité
de A calculée sachant que B s’est réalisé. On rencontre aussi d’autres façons d’écrire : P(AIB)
et P(A si B). La notation devient alors :
P(A) = 2/3
et P(A/B) = 1/2.
Dans le cas où A est indépendant de B, on a : P(A/B) = P(A) Il s’ensuit les corollaires
suivants :
a - Théorème - La probabilité de deux événements indépendants est égale au produit des
probabilités de ces deux événements.
b - Théorème - Si A est indépendant de B, alors B est indépendant de A.
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