19. ÉLÉMENTS DE c.4~~~1, ne.7 PROR.~RII,IT&
2.2. Probabilité empirique d’un événement ou mesure de la fréquence relative
Plus simplement il s’a.git d’envisager l’étude des cas où la propriété de symétrie a disparu : c’est
le cas, par exemple, du dé pipé. C’est l’cxp&ience qui révèle l’absence de sym@trie, ou plutôt
une série de n expériences. On appcllc fréquence de A le nombre d’cxpbicnccs oi~ l’tvanement
A est apparu divisi: par lc nombre total d’expériences effcctu&s. On réalise ainsi une mesure
cxp6rimentale de la probabilité, et lion parle dans cc cas dc probabilité empirique ou statistique.
À présent apparaît 1111 sérieux problème : la probabilité statistique change d’une série
d’cxp&icnces 2 l’autre. Cette difficulté se trouve réglitc par l’intermédiaire du théorème de
Bernoulli :
Soit un nombre 7 > 0 aussi petit que l’on veut,; la probabilitk pour que la diff&ence entre
la fréquence d’apparition dc l’Cv&cment et la probabilité de cet Mmcment soit infbrieure à q>
tend vers un lorsque lc nombre n des épreuves augmente indéfiniment.
Cc thi:orème que nous dérnontrerons plus loin est l’cxprcssion de ce qui est appel@ la loi des
grands nombres.
À l’occasion de l’énoncé du théorème dc Bcrnoulli, nous venons d’introduire une notion
nouvelle de la convergence : la convergence en probabilité :
On dit que X,, tend vers X0 en probabilit6 si, quel que soit E > 0 aussi petit que l’on veut. la
probabilité de vérifier l’inégalité
tend vers 1 quand n tend vers l’infini.
Notons qu’un écart import~ant peu cxistcr mais il est peu probable, et d’autant, plus improbable
que n le nombre d’épreuves est grand.
3. Notion de variable aléatoire
Par dkfinition, toute variable dont la valeur est fixée par la réalisat,ion d’une Bprcuvt appartenant
à. une catégorie déterminée est appelée variable aléatoire.
Il nc faut pas confondre la variable aléatoire avec les valeurs effectives que ccttc variable est,
susceptible de prendre.
Par exemple, la variable aléatoire X désigne lc nombre présent@ par la face d’un dé normalement numéroté. Ainsi, les valeurs possibles de la variable alCatoire X sont 1: 2> 3, 4: 5
ct, 6.
Nous venons de définir une variable aléatoire X qui est discrète. Il est tout à fait possible
de définir une variable aleatoire continue en disant qu’elle peut prcndrc toutes les valeurs à
l‘intérieur d’un intervalle D fini ou infini. Par cxcmple, il suffit de penser à la longueur de la
trajectoire suivie par un avion entre Paris ct New-York : toutes les valeurs sont possibles à
lïntéricur du domaine D.
4. Somme et produit d’événements. Théorèmes fondamentaux
Ces notions ct théorèmes vont nous permettre de réduire une cxpkrience relativement complexe
en sommes et produits d’événements $ partir desquels il sera aisé d’effectuer des ca,lculs. Il s’agit
dc mettre en œuvre une méthode indirecte qui peut s’appliquer à. tout un ensemble de problCmcs
que la probabilité soit connut directement ou empiriquement. que les variables aléat,oires soient
discrètes ou contimIes.
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2.2. Probabilité empirique d’un événement ou mesure de la fréquence relative
Plus simplement il s’a.git d’envisager l’étude des cas où la propriété de symétrie a disparu : c’est
le cas, par exemple, du dé pipé. C’est l’cxp&ience qui révèle l’absence de sym@trie, ou plutôt
une série de n expériences. On appcllc fréquence de A le nombre d’cxpbicnccs oi~ l’tvanement
A est apparu divisi: par lc nombre total d’expériences effcctu&s. On réalise ainsi une mesure
cxp6rimentale de la probabilité, et lion parle dans cc cas dc probabilité empirique ou statistique.
À présent apparaît 1111 sérieux problème : la probabilité statistique change d’une série
d’cxp&icnces 2 l’autre. Cette difficulté se trouve réglitc par l’intermédiaire du théorème de
Bernoulli :
Soit un nombre 7 > 0 aussi petit que l’on veut,; la probabilitk pour que la diff&ence entre
la fréquence d’apparition dc l’Cv&cment et la probabilité de cet Mmcment soit infbrieure à q>
tend vers un lorsque lc nombre n des épreuves augmente indéfiniment.
Cc thi:orème que nous dérnontrerons plus loin est l’cxprcssion de ce qui est appel@ la loi des
grands nombres.
À l’occasion de l’énoncé du théorème dc Bcrnoulli, nous venons d’introduire une notion
nouvelle de la convergence : la convergence en probabilité :
On dit que X,, tend vers X0 en probabilit6 si, quel que soit E > 0 aussi petit que l’on veut. la
probabilité de vérifier l’inégalité
tend vers 1 quand n tend vers l’infini.
Notons qu’un écart import~ant peu cxistcr mais il est peu probable, et d’autant, plus improbable
que n le nombre d’épreuves est grand.
3. Notion de variable aléatoire
Par dkfinition, toute variable dont la valeur est fixée par la réalisat,ion d’une Bprcuvt appartenant
à. une catégorie déterminée est appelée variable aléatoire.
Il nc faut pas confondre la variable aléatoire avec les valeurs effectives que ccttc variable est,
susceptible de prendre.
Par exemple, la variable aléatoire X désigne lc nombre présent@ par la face d’un dé normalement numéroté. Ainsi, les valeurs possibles de la variable alCatoire X sont 1: 2> 3, 4: 5
ct, 6.
Nous venons de définir une variable aléatoire X qui est discrète. Il est tout à fait possible
de définir une variable aleatoire continue en disant qu’elle peut prcndrc toutes les valeurs à
l‘intérieur d’un intervalle D fini ou infini. Par cxcmple, il suffit de penser à la longueur de la
trajectoire suivie par un avion entre Paris ct New-York : toutes les valeurs sont possibles à
lïntéricur du domaine D.
4. Somme et produit d’événements. Théorèmes fondamentaux
Ces notions ct théorèmes vont nous permettre de réduire une cxpkrience relativement complexe
en sommes et produits d’événements $ partir desquels il sera aisé d’effectuer des ca,lculs. Il s’agit
dc mettre en œuvre une méthode indirecte qui peut s’appliquer à. tout un ensemble de problCmcs
que la probabilité soit connut directement ou empiriquement. que les variables aléat,oires soient
discrètes ou contimIes.
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