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ÉI
éments de calcul
des probabilités
Même au niveau très élémentaire, le calcul des probabilités est toujours truffé de pièges et de
colles qui font que cette discipline est souvent redoutée. La lecture de l’ouvrage de J. Bertrand
(182221900) cité en bibliographie est fortement recommandée tant elle est agréable. Il s’agit du
fac-similé de la seconde édition française de 1907. C’est un ouvrage de référence, particulièrement
connu à l’étranger, connu aussi pour sa rigueur epistémologique. Il est d’une lecture très aisée
et ne nécessite en mathématiques que les connaissances correspondant au niveau du DEUG
première année.
1. Introduction et notions fondamentales
Nous nous proposons d’examiner de quelle manière on peut étudier les phénomènes présentant
un certain caractère dû au hasard (mot d’origine arabe ayant trait au jeu de dé). Une facon
classique de présenter les problèmes consiste à examiner les fluctuations d’une grandeur autour
d’une moyenne, en voici des exemples : la masse d’un corps au moyen de n mesures, la recette
journalière d’un parcmètre, la trajectoire d’un navire entre deux ports, la trajectoire d’un avion
entre deux aéroports.
Dans notre présentation, il n’est pas utile de rechercher une définition très subtile du hasard,
et il nous suffira de dire qu’il s’agit d’une causalité fictive, laquelle pourra évoluer en fonction des
connaissances supplémentaires que nous acquerrons sur le système étudié (cf. les probabilités
conditionnelles, les ensembles canoniques en mécanique statistique).
Il faut bien insister sur le fait que l’étude des phénomènes aléatoires (mot latin ayant trait
au jeu de dé) ne présuppose pas l’abandon du déterminisme. Certains problèmes, examinés
sous l’angle de la physique traditionnelle, exigent une modélisation très complexe qui, dans
les meilleurs des cas, peut conduire à un ensemble d’équations. Ces équations ne sont jamais
justiciables d’un traitement analytique et seul l’aspect calcul numérique pourrait être envisagé ;
on doit se rendre à l’évidence : le temps de calcul est prohibitif, l’espace mémoire démentiel...
bref, le problème est bel et bien irréaliste. C’est ainsi que l’on préfère envisager l’usage d’un
autre procédé d’analyse qui sera sans doute beaucoup moins fin mais qui fournira les résultats
globaux que nous attendons. Pour se convaincre de cette réalité, il suffit de considérer le simple
jeu de pile ou face.
Si l’on fait abstraction de l’hypothèse selon laquelle la pièce pourrait rester en équilibre sur
la tranche, ce qui nous intéresse c’est savoir quelle est la face présentée par la pièce à la fin de
l’expérience. A priori, cette face peut être déterminée à partir du moment où l’on connaît la
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éments de calcul
des probabilités
Même au niveau très élémentaire, le calcul des probabilités est toujours truffé de pièges et de
colles qui font que cette discipline est souvent redoutée. La lecture de l’ouvrage de J. Bertrand
(182221900) cité en bibliographie est fortement recommandée tant elle est agréable. Il s’agit du
fac-similé de la seconde édition française de 1907. C’est un ouvrage de référence, particulièrement
connu à l’étranger, connu aussi pour sa rigueur epistémologique. Il est d’une lecture très aisée
et ne nécessite en mathématiques que les connaissances correspondant au niveau du DEUG
première année.
1. Introduction et notions fondamentales
Nous nous proposons d’examiner de quelle manière on peut étudier les phénomènes présentant
un certain caractère dû au hasard (mot d’origine arabe ayant trait au jeu de dé). Une facon
classique de présenter les problèmes consiste à examiner les fluctuations d’une grandeur autour
d’une moyenne, en voici des exemples : la masse d’un corps au moyen de n mesures, la recette
journalière d’un parcmètre, la trajectoire d’un navire entre deux ports, la trajectoire d’un avion
entre deux aéroports.
Dans notre présentation, il n’est pas utile de rechercher une définition très subtile du hasard,
et il nous suffira de dire qu’il s’agit d’une causalité fictive, laquelle pourra évoluer en fonction des
connaissances supplémentaires que nous acquerrons sur le système étudié (cf. les probabilités
conditionnelles, les ensembles canoniques en mécanique statistique).
Il faut bien insister sur le fait que l’étude des phénomènes aléatoires (mot latin ayant trait
au jeu de dé) ne présuppose pas l’abandon du déterminisme. Certains problèmes, examinés
sous l’angle de la physique traditionnelle, exigent une modélisation très complexe qui, dans
les meilleurs des cas, peut conduire à un ensemble d’équations. Ces équations ne sont jamais
justiciables d’un traitement analytique et seul l’aspect calcul numérique pourrait être envisagé ;
on doit se rendre à l’évidence : le temps de calcul est prohibitif, l’espace mémoire démentiel...
bref, le problème est bel et bien irréaliste. C’est ainsi que l’on préfère envisager l’usage d’un
autre procédé d’analyse qui sera sans doute beaucoup moins fin mais qui fournira les résultats
globaux que nous attendons. Pour se convaincre de cette réalité, il suffit de considérer le simple
jeu de pile ou face.
Si l’on fait abstraction de l’hypothèse selon laquelle la pièce pourrait rester en équilibre sur
la tranche, ce qui nous intéresse c’est savoir quelle est la face présentée par la pièce à la fin de
l’expérience. A priori, cette face peut être déterminée à partir du moment où l’on connaît la
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