18. INTRODUCTIONAUXMÉTHODES
DE
M ONTE-CARLO
4.1. Première approche : simulation géométrique (intérêt strictement pédagogique)
On note X,,,,, et Xmin les extrcmums de f(x) sur (a, b). On désigne par a et p deux nombres
tels qlle Ck 2 X,,,, et ,0 < Xmin.
On tire deux nombres aléatoires indépendants à distribution uniforme l’un sur l’intervalle
(a,b), l’autre sur l’intervalle (cr,p). 0 n note < et q ces deux nombres. Le point figuratif A de
coordonnées (<, ~1) est uniformément réparti dans le rectangle de sommets (a, o) et (b, ,!?). N est
lc nombre de tirages de couples < et q, et Q est le nombre de points A situés entre le graphe
de f(x) et l’axe des 2. Attention, il s’agit d’effectuer la somme algébrique des aires, et si 17 est
négatif et qu’il figure entre le graphe de f(x) et l’axe des 5, il convient ôter une unité à Q. Si
l’on ne réalise pas cette opération, on effectue le calcul de l’intégrale de If(z)l. Si ,6 est positif
aucun problème ne se pose.
Remarque : Pour tirer des nombres pseudo-aléatoires entre a et b, on part d’un nombre <
compris entre 0 et 1. Ensuite, on effectue la transformation :
7j = a + (b - a)<.
Si l’on part d’un nombre < compris entre -1 et 1, on effectue la transformation :
q = a + (b - a)(< + 1)/2,0.
On voit que la probabilité de tomber dans la surface algébrique de la fonction f(x) est donnée
par :
h
aire algébrique
f f (xl dx
P= surface du rectangle = (b a a)(/3 - o) = $
On aboutit en définitive à l’expression :
b
J
f(x) dz = $(h - a)(/3 - û),
#qui constitue une approximation de l’intégrale.
4.2. Deuxième approche
La méthode que nous venons de présenter est très sommaire. À présent nous allons présenter
un autre estimateur de l’intégrale qui exploite des connaissances plus fines. Soit < une variable
aléatoire distribuée uniformément sur (a, b). Nous effectuons N tirages que nous notons [i avec
i = 1,. . , N. Si N est un nombre grand devant l’unité, la grandeur :
est un estimateur de la moyenne de la fonction f(x) sur l’intervalle (u, b), ce qui a pour
conséquence que l’intégrale est estimée par la quantité (b - a)fa. On peut donc écrire :
b
J n
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DE
M ONTE-CARLO
4.1. Première approche : simulation géométrique (intérêt strictement pédagogique)
On note X,,,,, et Xmin les extrcmums de f(x) sur (a, b). On désigne par a et p deux nombres
tels qlle Ck 2 X,,,, et ,0 < Xmin.
On tire deux nombres aléatoires indépendants à distribution uniforme l’un sur l’intervalle
(a,b), l’autre sur l’intervalle (cr,p). 0 n note < et q ces deux nombres. Le point figuratif A de
coordonnées (<, ~1) est uniformément réparti dans le rectangle de sommets (a, o) et (b, ,!?). N est
lc nombre de tirages de couples < et q, et Q est le nombre de points A situés entre le graphe
de f(x) et l’axe des 2. Attention, il s’agit d’effectuer la somme algébrique des aires, et si 17 est
négatif et qu’il figure entre le graphe de f(x) et l’axe des 5, il convient ôter une unité à Q. Si
l’on ne réalise pas cette opération, on effectue le calcul de l’intégrale de If(z)l. Si ,6 est positif
aucun problème ne se pose.
Remarque : Pour tirer des nombres pseudo-aléatoires entre a et b, on part d’un nombre <
compris entre 0 et 1. Ensuite, on effectue la transformation :
7j = a + (b - a)<.
Si l’on part d’un nombre < compris entre -1 et 1, on effectue la transformation :
q = a + (b - a)(< + 1)/2,0.
On voit que la probabilité de tomber dans la surface algébrique de la fonction f(x) est donnée
par :
h
aire algébrique
f f (xl dx
P= surface du rectangle = (b a a)(/3 - o) = $
On aboutit en définitive à l’expression :
b
J
f(x) dz = $(h - a)(/3 - û),
#qui constitue une approximation de l’intégrale.
4.2. Deuxième approche
La méthode que nous venons de présenter est très sommaire. À présent nous allons présenter
un autre estimateur de l’intégrale qui exploite des connaissances plus fines. Soit < une variable
aléatoire distribuée uniformément sur (a, b). Nous effectuons N tirages que nous notons [i avec
i = 1,. . , N. Si N est un nombre grand devant l’unité, la grandeur :
est un estimateur de la moyenne de la fonction f(x) sur l’intervalle (u, b), ce qui a pour
conséquence que l’intégrale est estimée par la quantité (b - a)fa. On peut donc écrire :
b
J n
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