MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Une autre technique pour obtenir une suite de nombres pseudo-aléatoires consiste à générer
la suite suivante :
xi+1 = 2i + xi-1
modulo 4
avec
x0 = e = 2,718 281828 459 045 235.. .
x1 = T = 3,141592 653 589 793 238.. .
Elle donne des résultats tout à fait semblables a ceux fournis par le générateur de LehmerGreenberger. On obtient des nombres pseudo-aléatoires à distribution uniforme
sur l’intervalle
(0,l) en multipliant zi par 0,25.
3. Calcul de 7-r
Il est très facile d’obtenir une valeur approchée de T en effectuant une simulat,ion analogue à celle
liée au problème de Buffon. Pour cela, il suffit de tirer deux nombres aléatoires indépendants à
distribution rectangulaire sur (-1, +l) que l’on note ci et &. Dans le plan, le point aléatoire A
de coordonnées (1, -l), elle vaut 0,25. Il est tout à fait simple de dénombrer les points A qui tombent dans le
cercle de centre 0 et rayon unité. Si N est le nombre de tirages de couples Ei et & ct si Q est
le nombre de points A situés à l’intérieur du cercle unité, on voit que la probabilité de tomber
dans le cercle est donnée par :
surface du cercle
P=
T-Q
----.
surface du carré 4 N
Comme pour N donné on sait dénombrer Q, on obtient aisknent urle valeur approximative
de T au moyen de la relation :
Il ne faut pas se méprendre sur la portée d’une telle méthode, seul son intérêt pédagogique est
à prendre en considération car la précision relative varie en l/fi. On trouvera sur le Web (*) le
programme calculpi. c qui effectue le calcul de T selon cet algorithme. Pour N = 1000 000, on
trouve T = 3,140 2, pour N = 100 000 000, on trouve T = 3,141507, et pour N = 1000 000 000.
on trouve T = 3,141603 5. On vérifie bien que pour diminuer l’erreur d’un ordre de grandeur, il
faut multiplier le nombre d’épreuves par lOO... autrement dit, on vérifie bien sur cet exemple que
la précision varie comme l/fi et que le générateur dc nombres pseudo-aléatoires se comporte
bien.
4. Calcul d’une intégrale définie
On désire calculer l’intégrale d’une fonction f(z) entre les bornes finies u, et b. On suppose que
f(z) est une fonction continue par morceaux.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
290
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Une autre technique pour obtenir une suite de nombres pseudo-aléatoires consiste à générer
la suite suivante :
xi+1 = 2i + xi-1
modulo 4
avec
x0 = e = 2,718 281828 459 045 235.. .
x1 = T = 3,141592 653 589 793 238.. .
Elle donne des résultats tout à fait semblables a ceux fournis par le générateur de LehmerGreenberger. On obtient des nombres pseudo-aléatoires à distribution uniforme
sur l’intervalle
(0,l) en multipliant zi par 0,25.
3. Calcul de 7-r
Il est très facile d’obtenir une valeur approchée de T en effectuant une simulat,ion analogue à celle
liée au problème de Buffon. Pour cela, il suffit de tirer deux nombres aléatoires indépendants à
distribution rectangulaire sur (-1, +l) que l’on note ci et &. Dans le plan, le point aléatoire A
de coordonnées (1, -l), elle vaut 0,25. Il est tout à fait simple de dénombrer les points A qui tombent dans le
cercle de centre 0 et rayon unité. Si N est le nombre de tirages de couples Ei et & ct si Q est
le nombre de points A situés à l’intérieur du cercle unité, on voit que la probabilité de tomber
dans le cercle est donnée par :
surface du cercle
P=
T-Q
----.
surface du carré 4 N
Comme pour N donné on sait dénombrer Q, on obtient aisknent urle valeur approximative
de T au moyen de la relation :
Il ne faut pas se méprendre sur la portée d’une telle méthode, seul son intérêt pédagogique est
à prendre en considération car la précision relative varie en l/fi. On trouvera sur le Web (*) le
programme calculpi. c qui effectue le calcul de T selon cet algorithme. Pour N = 1000 000, on
trouve T = 3,140 2, pour N = 100 000 000, on trouve T = 3,141507, et pour N = 1000 000 000.
on trouve T = 3,141603 5. On vérifie bien que pour diminuer l’erreur d’un ordre de grandeur, il
faut multiplier le nombre d’épreuves par lOO... autrement dit, on vérifie bien sur cet exemple que
la précision varie comme l/fi et que le générateur dc nombres pseudo-aléatoires se comporte
bien.
4. Calcul d’une intégrale définie
On désire calculer l’intégrale d’une fonction f(z) entre les bornes finies u, et b. On suppose que
f(z) est une fonction continue par morceaux.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
290