MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
cet,te technique est beaucoup plus efficace que la précédente dans la mesure où elle fait appel à
beaucoup moins d’opérations.
Sur le Web (*), on trouvera le programme intmonte. c qui rkalisc ces divers calculs sur des
cxcmplcs simples.
5. Intégration de l’équation de Laplace en un point
On souhaite intkgrcr dans le dornaine D l’équation de Laplace :
#V + d”V + d2V
dx2
dy2
dz2
o
dans un repi‘re cartésien orthonormé tridimensionnel dans le cadre des conditions de Dirichlet
(on connaît, V sur la frontke de D). Comme nous l’avons dkjrt fait au cours du chapitre 14.
on superpose au domaine D un maillage cubique dont les nccuds des mailles sont notés par les
triplets (i, j, k). Une méthode de Monte-Carlo pour calculer le potentiel V au point particulier
(1, JT K) consiste à décrire une suite de N chemins tous issus du point, (1, J, K) chacun de ces
chemins se terminant tôt ou tard sur la frontière du domaine. Dès lors que l’on a atteint un
point de la frontière, on note le potentiel V; de cc point, et l’on recommence un nouveau chemin
issu de (1, J, K). Il est possible de montrer que le potentiel en (1, J, K) est la moyenne des V;.
soit encore :
V(I, J, K) zz
i=l
À présent, il reste à déterrrrirrer la façon dont on décrit un chemin dans le maillage. On doit
pouvoir atteindre chacun des plus proches voisins d’un point donné quelconque hors la frontike.
Avec le maillage que nous avons retenu il existe six plus proches voisins. Pour réaliser un chemin.
il suffit de procéder a un tirage au sort de six nombres indépendants 1, 2, 3, 4, 5 et 6 qui sont
kquirkpartis, et à chaque nombre on affecte arbitrairement un déplacement dans une des six
directions. Par exemple, orr peut convenir que :
1 déplacement vers la gauche,
2 deplacement vers la droite,
3 déplacement vers le bas,
4 déplacement vers le haut,
5 déplacement vers l’avant,
6 dkplacernent vers l’arrière.
Il est ai& de fabriquer ces nornbres pseudo-aléatoiws. Soit < un nombre pseudo-aléat,oire
obtenu par l’algorithme de Lchmcr-Grccnbcrger. Il est compris entre 0 et 1. Si on lc multiplie
par 6, il appartiendra à une répartition uniforme entre 0 et 6, 6 étant exclu. Il suffira donc d’en
prendre la partie entik-c et d’y ajouter 1 pour obtenir la suite des points du chcrnin.
17 = entier {6<} + 1.
Nécessairement au bout d’un nombre fini d’opk-ations, on parviendra à la limite du domaine.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
cet,te technique est beaucoup plus efficace que la précédente dans la mesure où elle fait appel à
beaucoup moins d’opérations.
Sur le Web (*), on trouvera le programme intmonte. c qui rkalisc ces divers calculs sur des
cxcmplcs simples.
5. Intégration de l’équation de Laplace en un point
On souhaite intkgrcr dans le dornaine D l’équation de Laplace :
#V + d”V + d2V
dx2
dy2
dz2
o
dans un repi‘re cartésien orthonormé tridimensionnel dans le cadre des conditions de Dirichlet
(on connaît, V sur la frontke de D). Comme nous l’avons dkjrt fait au cours du chapitre 14.
on superpose au domaine D un maillage cubique dont les nccuds des mailles sont notés par les
triplets (i, j, k). Une méthode de Monte-Carlo pour calculer le potentiel V au point particulier
(1, JT K) consiste à décrire une suite de N chemins tous issus du point, (1, J, K) chacun de ces
chemins se terminant tôt ou tard sur la frontière du domaine. Dès lors que l’on a atteint un
point de la frontière, on note le potentiel V; de cc point, et l’on recommence un nouveau chemin
issu de (1, J, K). Il est possible de montrer que le potentiel en (1, J, K) est la moyenne des V;.
soit encore :
V(I, J, K) zz
i=l
À présent, il reste à déterrrrirrer la façon dont on décrit un chemin dans le maillage. On doit
pouvoir atteindre chacun des plus proches voisins d’un point donné quelconque hors la frontike.
Avec le maillage que nous avons retenu il existe six plus proches voisins. Pour réaliser un chemin.
il suffit de procéder a un tirage au sort de six nombres indépendants 1, 2, 3, 4, 5 et 6 qui sont
kquirkpartis, et à chaque nombre on affecte arbitrairement un déplacement dans une des six
directions. Par exemple, orr peut convenir que :
1 déplacement vers la gauche,
2 deplacement vers la droite,
3 déplacement vers le bas,
4 déplacement vers le haut,
5 déplacement vers l’avant,
6 dkplacernent vers l’arrière.
Il est ai& de fabriquer ces nornbres pseudo-aléatoiws. Soit < un nombre pseudo-aléat,oire
obtenu par l’algorithme de Lchmcr-Grccnbcrger. Il est compris entre 0 et 1. Si on lc multiplie
par 6, il appartiendra à une répartition uniforme entre 0 et 6, 6 étant exclu. Il suffira donc d’en
prendre la partie entik-c et d’y ajouter 1 pour obtenir la suite des points du chcrnin.
17 = entier {6<} + 1.
Nécessairement au bout d’un nombre fini d’opk-ations, on parviendra à la limite du domaine.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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