18 Introduction aux méthodes
de Monte-Carlo
Les mt%hodes
de Monte-Carlo sont apparues comme moyen de recherche durant la Seconde
Guerre Mondiale afin de simuler le comportement des neutrons dans les matériaux fissiles. La
paternité de cette idée revient à J.E. Mayer qui l’utilisa pour la première fois cn physique
statistique.
Avec le développement des calculateurs arithrnétiques, il est très facile de réaliser quelques
simulations de ce type à l’aide de générateurs de nombres pseudo-aléatoires. Après avoir
présenté lc célèbre problème de Buffon (1707- 1788) comme illustration historique d’une méthode
de Monte-Carlo, nous donnerons deux générateurs de nombres pseudo-aléatoires que nous
utiliserons dans quelques applications classiques à savoir :
Calcul d’une intégrale définie.
- Rksolution locale de l’équation dc Laplace.
~- Inversion d’une matrice carrée.
~ Recuit simuk (minirnum dkme fonction).
1. Le problème de Buffon
Sur une feuille de papier nous traçons des paralléles équidistantes séparées par la distance 2~.
Nous plaçons cette feuille sur un plan parfaitement horizontal, et nous jetons dessus une aiguille
de longueur 21 telle que 1 < (L. Le problème consiste à calculer la probabilité que l’aiguille
rencontre une des parallèles (cf. Fig. 18.1, page suivante). Ce problème s’appelle aussi probkme
du drapeau américain, car durant la guerre de Sécession (1861-1865) un officier américain, lors
de sa convalescence après blessure, s’était posi: le même problèrne, la feuille de papier étant
rernplacéc
par le drapeau américain qui comporte des bandes équidistantes.
Désignons par M le milieu de l’aiguille et par EF la perpendiculaire aux parallèles passant
par U. Soit 1 le milieu de EF. On pose EM = 2 que l’on suppose inférieure à FM (A1 compris
entre E et I).
Pour que l’aiguille coupe la parallèle AB, il faut premierement que : x: < 1. Alors, la probabilité
pour que M sur El soit compris entre 5 ct I I : + dz est :
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de Monte-Carlo
Les mt%hodes
de Monte-Carlo sont apparues comme moyen de recherche durant la Seconde
Guerre Mondiale afin de simuler le comportement des neutrons dans les matériaux fissiles. La
paternité de cette idée revient à J.E. Mayer qui l’utilisa pour la première fois cn physique
statistique.
Avec le développement des calculateurs arithrnétiques, il est très facile de réaliser quelques
simulations de ce type à l’aide de générateurs de nombres pseudo-aléatoires. Après avoir
présenté lc célèbre problème de Buffon (1707- 1788) comme illustration historique d’une méthode
de Monte-Carlo, nous donnerons deux générateurs de nombres pseudo-aléatoires que nous
utiliserons dans quelques applications classiques à savoir :
Calcul d’une intégrale définie.
- Rksolution locale de l’équation dc Laplace.
~- Inversion d’une matrice carrée.
~ Recuit simuk (minirnum dkme fonction).
1. Le problème de Buffon
Sur une feuille de papier nous traçons des paralléles équidistantes séparées par la distance 2~.
Nous plaçons cette feuille sur un plan parfaitement horizontal, et nous jetons dessus une aiguille
de longueur 21 telle que 1 < (L. Le problème consiste à calculer la probabilité que l’aiguille
rencontre une des parallèles (cf. Fig. 18.1, page suivante). Ce problème s’appelle aussi probkme
du drapeau américain, car durant la guerre de Sécession (1861-1865) un officier américain, lors
de sa convalescence après blessure, s’était posi: le même problèrne, la feuille de papier étant
rernplacéc
par le drapeau américain qui comporte des bandes équidistantes.
Désignons par M le milieu de l’aiguille et par EF la perpendiculaire aux parallèles passant
par U. Soit 1 le milieu de EF. On pose EM = 2 que l’on suppose inférieure à FM (A1 compris
entre E et I).
Pour que l’aiguille coupe la parallèle AB, il faut premierement que : x: < 1. Alors, la probabilité
pour que M sur El soit compris entre 5 ct I I : + dz est :
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