MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Sur le plan formel, pourvu que les fonctions appartiennent aux bons espaces; il n’y a rien à
reprocher à une telle facon de faire ; en revanche. si l’on doit s’attaquer à la rkolution numérique
d’un tel probkmc, on va se heurter à un problème mal posé.
Il est facile de s’en convaincre en choisissant deux fonctions arbitraires, une fonction gaussiennr
g(t) et imc fonction triangle tri(t) p ar exemple: dont on réalise lc produit dc convolution SU(~),
le sup de chacune des fonctions étant égal à un. Si l’on utilise d’une part une machine dont la
prkision est de 10 chiffres significatifs et d’autre part Ja transforrnation de Fourier portant sur
128 points, la résolution de l’équation de convi)lution est p;trfaitcmcnt rkaliséc. En revanche.
si l’on introduit dans le second mcmbrc une crrcur relative gaussierme
de l’ordre de un pour
mille ~ il s’agit d’un bruit très faible note à ~ ~ 1
rl ors les rkultats deviennent complètement
aberrants : au lieu de trouver des résultats cntrc 0 ct 1 approxirnativernent, on obtient des
valeurs oscillantes entre -26 et +34 et une quinzaine d’oscillations...
Ceci montre que la résolution numérique des équations de convolution ne peut pas donner de
résultats corrects si l’on ne prend pas la bonne méthode d’analyse car les donmks cxpCrimentales
sont toujours entachkes d’erreur.
L’origine des ennuis est, relativernent sirnple à identifier : elle est duc aux «hautes fréquences )).
Désignons par O(U) la transformée de Fourier de à, la transformation invcrsc de Q(w)/K(w)
peut nc pas exister, c’est-à-dire que cette intkgrale peut diverger, ceci étant essentiellement dû
au rôle des hautes fréquences. Cependant, quand bien mknc la transformation inverse existerait
notee w(t), l’écart de w(t) par rapport à zéro peut être aussi grand que l’on veut, dans la métrique
LZ 011 L”.
7.1. Présentation d’un opérateur régularisant
Pour neutraliser l’influcncc des hautes fréquences, on peut multiplier la fonction à inverser
~(w)/K(w) par un facteur stabilisant f(w, 0). Ainsi, on adrnettra sans dérnonstration que
l’opérateur suivant est rkgularisant :
I”OJ(w a)w(w)
R[u,,(t), a(S)] = .I’
iiU) cxp(-27rjwt) dw.
-30
pourvu que la fonction f(w, a) obéisse aux conditions suivantes :
1. P(U, a) est définie quel que soit 0 et quel que soit w t (-00, +co).
2. 0 < f(w,a) 5 1 quels que soient Q > 0 et w E (-oo,+oo).
3. f(w,O) = 1.
4. f(w, a) appartient à l’espace L2, et quel que soit u: > 0, f(w. QI) est une fonction paire de d.
5. f(w. cy) tend vers zéro quand / w / + 00, quel que soit Q : > 0.
6, f(W) QMW)
K(w)
appartient à l’espace L2, quel que soit Q! > 0.
7. f(w, Q) tend vers zkro quand Q + 00. pour tout w différent de zéro.
7.2. Un exemple de fonction f(w, a)
K( -w)K(w 1
K2 (WI
f(w’ a) = K”(w) + ~M(W) = K”(w) + ~M(W)
284
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Sur le plan formel, pourvu que les fonctions appartiennent aux bons espaces; il n’y a rien à
reprocher à une telle facon de faire ; en revanche. si l’on doit s’attaquer à la rkolution numérique
d’un tel probkmc, on va se heurter à un problème mal posé.
Il est facile de s’en convaincre en choisissant deux fonctions arbitraires, une fonction gaussiennr
g(t) et imc fonction triangle tri(t) p ar exemple: dont on réalise lc produit dc convolution SU(~),
le sup de chacune des fonctions étant égal à un. Si l’on utilise d’une part une machine dont la
prkision est de 10 chiffres significatifs et d’autre part Ja transforrnation de Fourier portant sur
128 points, la résolution de l’équation de convi)lution est p;trfaitcmcnt rkaliséc. En revanche.
si l’on introduit dans le second mcmbrc une crrcur relative gaussierme
de l’ordre de un pour
mille ~ il s’agit d’un bruit très faible note à ~ ~ 1
rl ors les rkultats deviennent complètement
aberrants : au lieu de trouver des résultats cntrc 0 ct 1 approxirnativernent, on obtient des
valeurs oscillantes entre -26 et +34 et une quinzaine d’oscillations...
Ceci montre que la résolution numérique des équations de convolution ne peut pas donner de
résultats corrects si l’on ne prend pas la bonne méthode d’analyse car les donmks cxpCrimentales
sont toujours entachkes d’erreur.
L’origine des ennuis est, relativernent sirnple à identifier : elle est duc aux «hautes fréquences )).
Désignons par O(U) la transformée de Fourier de à, la transformation invcrsc de Q(w)/K(w)
peut nc pas exister, c’est-à-dire que cette intkgrale peut diverger, ceci étant essentiellement dû
au rôle des hautes fréquences. Cependant, quand bien mknc la transformation inverse existerait
notee w(t), l’écart de w(t) par rapport à zéro peut être aussi grand que l’on veut, dans la métrique
LZ 011 L”.
7.1. Présentation d’un opérateur régularisant
Pour neutraliser l’influcncc des hautes fréquences, on peut multiplier la fonction à inverser
~(w)/K(w) par un facteur stabilisant f(w, 0). Ainsi, on adrnettra sans dérnonstration que
l’opérateur suivant est rkgularisant :
I”OJ(w a)w(w)
R[u,,(t), a(S)] = .I’
iiU) cxp(-27rjwt) dw.
-30
pourvu que la fonction f(w, a) obéisse aux conditions suivantes :
1. P(U, a) est définie quel que soit
2. 0 < f(w,a) 5 1 quels que soient Q > 0 et w E (-oo,+oo).
3. f(w,O) = 1.
4. f(w, a) appartient à l’espace L2, et quel que soit u: > 0, f(w. QI) est une fonction paire de d.
5. f(w. cy) tend vers zéro quand / w / + 00, quel que soit Q : > 0.
6, f(W) QMW)
K(w)
appartient à l’espace L2, quel que soit Q! > 0.
7. f(w, Q) tend vers zkro quand Q + 00. pour tout w différent de zéro.
7.2. Un exemple de fonction f(w, a)
K( -w)K(w 1
K2 (WI
f(w’ a) = K”(w) + ~M(W) = K”(w) + ~M(W)
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