17. INITIATION AUX PR~BI~MES MAL rosés : ÉQUATIONS INTÉGRALE~,
L’application de la méthode des régularisants nous conduit à minimiser la fonctionnelle
lissante :
~cx(X> ~cbp, A) = [AX - u,$ + a[X]“,
Q se déterminant par la condition :
[AX, ~ u& = 6.
Sans entrer dans les détails, on obtient le système linéaire :
(ATA + cd) = ATuap
expression dans laquelle AT est la matrice transposée de A, et 1 la matrice unité d’ordre identique
à celui de A. Généralement, ici encore, n se trouve déterrniné par le résidu.
Remarque : On peut traiter d’un système linéaire surdétermine mais dont les équations
normales sont mal conditionnées. Nous avons rencontré un tel problèrne lors du lissage de
diagrarnrnes de phase binaires dont les données sont expérimentales.
On trouvera sur le Web (*) 1 e programme regul. c qui résout les systcrnes linéaires mal
conditionnés par la méthode des régularisants.
7. Résolution des équations de convolution
C’est une équation de toute première importance en physique dans la mesure ou le signal
observé u(t) est le produit de convolution du signal émis z(t) et de la fonction d’appareil K(t).
Ce sont des problèmes classiques rencontrés en spectroscopie, cn astronornie etc. Nous nous
proposons de résoudre l’équation :
+C=
.I’
K(CE - t)z(t) dt = U(Z),
c’est-à-dire de calculer z(t) connaissant K(t) et U(z). On peut encore écrire :
AZ = u.
Le problème se résout très facilement en termes de transformées de Fourier sous réserve que
les fonctions appartiennent à l’espace L1 ou L’. Le produit de convolution devient un produit
simple dans l’espace de Fourier :
lT(t)*z(t) = u(t) 3
K(w) ç(w) = w(w)
d’où
+m
avec :
(a(w) = .I
f(t) exp(2?rjwt) dt.
-cc
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
283
L’application de la méthode des régularisants nous conduit à minimiser la fonctionnelle
lissante :
~cx(X> ~cbp, A) = [AX - u,$ + a[X]“,
Q se déterminant par la condition :
[AX, ~ u& = 6.
Sans entrer dans les détails, on obtient le système linéaire :
(ATA + cd) = ATuap
expression dans laquelle AT est la matrice transposée de A, et 1 la matrice unité d’ordre identique
à celui de A. Généralement, ici encore, n se trouve déterrniné par le résidu.
Remarque : On peut traiter d’un système linéaire surdétermine mais dont les équations
normales sont mal conditionnées. Nous avons rencontré un tel problèrne lors du lissage de
diagrarnrnes de phase binaires dont les données sont expérimentales.
On trouvera sur le Web (*) 1 e programme regul. c qui résout les systcrnes linéaires mal
conditionnés par la méthode des régularisants.
7. Résolution des équations de convolution
C’est une équation de toute première importance en physique dans la mesure ou le signal
observé u(t) est le produit de convolution du signal émis z(t) et de la fonction d’appareil K(t).
Ce sont des problèmes classiques rencontrés en spectroscopie, cn astronornie etc. Nous nous
proposons de résoudre l’équation :
+C=
.I’
K(CE - t)z(t) dt = U(Z),
c’est-à-dire de calculer z(t) connaissant K(t) et U(z). On peut encore écrire :
AZ = u.
Le problème se résout très facilement en termes de transformées de Fourier sous réserve que
les fonctions appartiennent à l’espace L1 ou L’. Le produit de convolution devient un produit
simple dans l’espace de Fourier :
lT(t)*z(t) = u(t) 3
K(w) ç(w) = w(w)
d’où
+m
avec :
(a(w) = .I
f(t) exp(2?rjwt) dt.
-cc
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