17. INITIATION
Aux PRO BLÈ MES MAL POSÉ S : ÉQUATIONS
INTÉGR A LES,
Il est possible de montrer que la solution régularisée est dom& par la résolution de l’équation
intégra-diffkrentielle :
b
s
H(z, t)z(t) dt - N
a
avec :
d
H(x,t) = J
K(Y, X)K(Y, t) dZ/,
d
b(x) = .I
K(Y, xM/) d’ y>
expressions auxquelles il faut ajouter la condition :
y1(x)z’(x)u(x)~~ = 0,
où Y(X) est une variation arbitraire dc Z(X) telle que Z(X) + U(X) p uisse appartenir à la classe
des fonctions admissibles.
On peut satisfaire cette condition de deux manières :
a. on connaît les valeurs dc la solution aux bornes de l’intervalle (a, h) et il faut que la fonction
U(X) s’anrmle à ces cxtrémitCs;
b. si ces valeurs ne sont pas connues, on peut, alors poser ~‘(a) = z’(b) = 0. cc qui constitue
deux contraintes à imposer A la solution approchkc.
5.1. Résolution numérique
Comme chaque fois en pareil cas, on procède à un rnaillage du domaine sur lequel on dksirc
effectuer la résolution dc l’équation intégro-différentielle. Généralement on adopte ur1 maillage
uniforrnc
dc pas h sur l’intervalle (n, b), ainsi la solution Z(X) est calculée pour les valeurs
en progression arithmétique .~k. = a + kh avec k = 0, 1,2, . . , n. et nous notons zk la valeur
inconnue z(x~). Nous pouvons également écrire quelques expressions utiles pour la formulation
du problèrne transposi: sur le plan nurnérique :
b
J’
K(xk, t)z(t) dt = hk Kk,,,zl,,
a
u=o
l’cxprcssion du second membre représentant formellement une technique d’intégration usuelle
(t,rapeze,
rectangle, Simpson...).
Puis, cn utilisant les opérateurs de différences première et deuxième :
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