MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUI?
4.4. Choix du paramètre de régularisation
Il n’est pas évident de connaître la fonction a(S) pour laquelle l’opérateur R[u(s, Q(C?)] soit
effectivement régularisant, cependant, on connaît 1me valeur de 6 caractkkmt l’imprécision
générale et il nous faut trouver une valeur correspondante de ( Y choisie parmi les valeurs possibles.
On connaît la valeur 6 d’après la relation :
Alors, on peut estimer cv d’après le résidu, c’est-à-dire au moyen dc la condition :
D’un point de vue pratique, on va opérer dc la façon suivante :
1. On estime 6 l’erreur sur le second membre.
2. On va choisir une suite de valeur de cy qui sont en progression gkométriquc, soit :
Qk = @q”
et pour chaque cyk on calcule la valeur de la fonction z,+ q ui minimise la fonctionnelle lissank
wq. (6 w).
3. On calcule le résidu T- I , au moyen de la relation :
rk = /A&&~, ucs)
4. Pour valeur de CC, on choisit celle pour laquelle on vérifie l’égalité :
5. La méthode donne l’idée concernant la façon dont il faut choisir Q~. En programmation1
il
est commode de procéder par tâtonnements de faCon conversationnelle, afin de déceler plus
rapidement les ordres dc grandeur.
5. Application à la résolution approchée des équations intégrales
de Fredholm de première espèce
R.evenons
à l’équation de Fredholm de première espèce :
b
J
K(x, t)z(t) dt = u(x)
pour x appartenant à (c, d), et à appartenant à l’espace L” des fonctions de carré sommable.
Pour obtenir la solution, nous allons utiliser 1111 stabilisateur du premier ordre dans l’espace de
Sobolev W2. Nous cherchons la solution z,, qui minimise la fonctionnelle :
d
b
Ada(z) u) =
JiJ
K(x, t)z(t) dt - à
q&)z”(t) + ql(t)
dt
<
a
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